Géométrie différentielle élémentaire

GØomØtrie di Øren tielle ØlØmen taire F rØdØric P aulin V ersion prØliminaire Cours de premiŁre annØe de mastŁre cole Normale Sup Ørieure AnnØe 2006-2007 1 21 In tro duction T able des matiŁres On p eut considØrer un ob jet gØomØtrique selon plusieurs Øc helles, et les outils d’Øtudes 1 In tro duction 3 di Łren t alors : 2 V ariØtØs di Øren tielles 7 2.1 V ariØtØs top ologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 in nitØsimal ! algŁbre linØaire et m ultilinØaire n 2.2 Sous-v ariØtØs de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 lo cal ! calcul di Øren tiel 2.3 La catØgorie des v ariØtØs di Øren tielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 global ! gØomØtrie/top ologie di Øren tielle Ob jets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 asymptotique ! gØomØtrie asymptotique la Gromo v. FlŁc hes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Le p oin t de vue des faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Exemples de v ariØtØs di Øren tielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Une grande partie de ce cours sera consacrØ au passage de l’in nitØsimal et du lo cal au global. 2.4.1 Exemples triviaux, con tre-exemples et culture . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nous supp oserons acquis les deux premiers p oin ts (v oir par exemple [Bou1, A v e , CarH, Die1 ]), 2.4.2 familiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 et nous ne parlerons pas du dernier (v oir par exemple [Gro1 , Gro2 ]). Sous-v ariØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Dans cet ouvrage ØlØmen taire, nous ne traiterons pas de gØomØtrie riemannienne, ni de Plongemen ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 gØomØtrie symplectique, ni de gØomØtrie de con tact, qui son t traditionnellemen t des cours de Images rØcipro ques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 seconde annØe de mastŁre (v oir par exemple [GHL, McDS ]). Nous n’ab orderons pas non plus Sommes disjoin tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 certains p oin ts plus a v ancØs de gØomØtrie di Øren tielle, comme les brØs principaux et les classes Pro duits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 caractØristiques, la transv ersalitØ et ses applications, ainsi que quelques p oin ts sur les formes HomØomorphismes lo caux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 di Øren tielles, comme la form ule de Kunneth (v oir par exemple [BT , Hir, Go d ]). Nous ne Rev Œtemen ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 parlerons pas des v ariØtØs di Øren tielles b ord, p ourtan t si utiles en top ologie di Øren tielle 2.4.3 Exemples cruciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (et en particulier, nous n’ab orderons pas la suite exacte d’une paire en cohomologie de de Les sphŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Rham, v oir par exemple [Go d ]). Les tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Nous mettrons l’accen t d’une part sur les exemples de v ariØtØs di Øren tielles, qu’elles viennen t Les espaces pro jectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 en familles ou en p oin ts remarquables, d’autres part sur leurs group es de transformations, c hers Les v ariØtØs grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 aux ph ysiciens. En ce qui concerne les c hamps de tenseurs, nous restreindrons notre Øtude aux Les group es classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 c hamps de v ecteurs et aux formes di Øren tielles. Nous n’ab orderons quasimen t pas les sp Øci ci- 2.5 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 tØs de la gØomØtrie di Øren tielle complexe, p ourtan t si ric he (v oir par exemple [V oi , Laz, BPV ]). 2.6 Indications p our la rØsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 P our les asp ects de thØorie de jauge et d’analyse sur les v ariØtØs, qui on t eu un impact imp ortan t sur la top ologie des v ariØtØs, a v ec les tra v aux par exemple de Donaldson et de P erelman, nous 3 FibrØs v ectoriels 62 ren v o y ons aux textes [Aub , Don , Bes ] par exemple. n 3.1 Sous-espaces tangen ts d’une sous-v ariØtØ de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Nous esp Ørons que le plaisir du lecteur dans la dØcouv erte de ces espaces (les v ariØtØs dif- 3.2 FibrØs v ectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 fØren tielles), ces group es (les group es de Lie), ces c hamps (c hamps de v ecteurs et formes dif- 3.3 FibrØ tangen t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 fØren tielles) sera renforcØ par les trŁs nom breux exercices et problŁmes de ce recueil, issus de 3.4 Application tangen te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 trois annØes d’enseignemen ts l’ cole Normale Sup Ørieure. Une partie d’en tre eux est accompa- 3.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1 gnØe d’un sc hŁme de preuv e ou d’indications de rØsolution, pas forcØmen t rØdigØes de maniŁre Sous-v ariØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 optimales ni complŁtes. Plongemen ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Souhaitan t rev enir aux lØmen ts d’Euclide, nous dirons p orisme ( o ) au lieu de c o- Images rØcipro ques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 r ol lair e . Sommes disjoin tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Pro duits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 R emer ciements. Une partie des 189 exercices et problŁmes, a v ec leurs solutions, et de nom breuses Rev Œtemen ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 corrections, on t ØtØ fournis par SØbastien Gouºzel. Je l’en remercie c haleureusemen t. Je remercie tous 3.6 Fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 les ØlŁv es m’a y an t signalØ des incorrections dans les premiŁres v ersions de ce texte. 3.7 Le brØ des formes alternØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.8 Op Ørations sur les brØs v ectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 PrØimage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Pro duit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1 n.m. (gr. ). Structure d’ensem ble d’un pro cessus. 3 43.9 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 AlgŁbre de cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 3.10 Indications p our la rØsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 In v ariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Suite exacte de Ma y er-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 4 Champs de v ecteurs et feuilletages 88 Calcul de la cohomologie des sphŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 4.1 Champs de v ecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Autres calculs de cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 4.2 Op Ørations sur les c hamps de v ecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.3 In tØgration des formes di Øren tielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 n 4.2.1 A ddition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 In tØgration dans les ouv erts de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 4.2.2 Multiplication par une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Orien tation des v ariØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 4.2.3 Restriction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 In tØgration de formes di Øren tielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 4.2.4 Image rØcipro que. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Le thØorŁme de Stok es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 4.2.5 Expression d’un c hamp de v ecteurs dans une carte. . . . . . . . . . . . . 91 RØgularitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 4.3 Flot lo cal d’un c hamp de v ecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.4 Cohomologie supp ort compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 4.4 DØriv ations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 In v ariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.5 DØriv ations et c hamps de v ecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Suite exacte de Ma y er-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 4.6 Cro c hets de c hamps de v ecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.5 DualitØ de P oincarØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 4.7 Champs de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Cohomologie de de Rham des espaces pro jectifs rØels . . . . . . . . . . . . . 253 4.8 F euilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.6 ThØorie du degrØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254