Fonctions trigonométriques et trigonométries inverses

Fonctions trigonométriques et
trigonométriques inverses

6.1

Rappel(fonctions trigonométriques)

mesure d’angles

θ

figure 6.1.1

θ

figure 6.1.2

360°

figure 6.1.3

définition 6.1.1

le radian

lorsque r = 1, la mesure
en radians de l’angle
AOB correspond à la
longueur de l’arc AB

θA
r

s

6

Nous aborderons maintenant une autre classe de fonctions dites
élémentaires, lesfonctions trigonométriques. Ces fonctions sont
indispensables à l’étude des phénomènes périodiques.

La variable indépendante de toute fonction trigonométrique est un
angle. On construit un angle en effectuant dans un plan la rotation
d’un segment de droite autour d’une de ses extrémités. Un angle dont
le côté initial est sur l’axe des abscisses et dont le sommet est le point
d’origine est dit enposition standard ou canonique. L’angle est
positif lorsque la rotation est faite dans le sens inverse des aiguilles
d’une montre (figure 6.1.1) et négatif si la rotation est faite dans le
sens des aiguilles d’une montre (figure 6.1.2).

Depuis l’antiquité, on mesure les angles en degrés. L’angle de 360° est
associé à une rotation complète du segment de droite. Dans ce cas le
segment de droite revient à sa position initiale après avoir fait une
rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
(figure 6.1.3). Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi le
nombre 360; ils croyaient alors que la terre faisait un tour sur elle-
même en 360 jours. Lorsqu’on fait intervenir le calcul différentiel, il
est essentiel d’utiliser une autre mesure,le radian. L’emploi du radian
comme mesure d’angles simplifie la dérivée des fonctions trigonomé-
triques, de la même façon que la basee simplifie la dérivée des
fonctions exponentielles et logarithmiques.

On mesure un angleθen radians en traçant
d’abord un cercle centré sur le sommet de
l’angle puis, on établit le rapport entre l’arc
de cerclesqu’il sous-tend et le rayonrdu
cercle. L’unité «radian» est habituellement
omise.

secteur angulaire
une révolution

θ
2π

l u
=o cnigrceounrf édree nl’caerc

s

= 2πr

⇒s = rθet A =12 r2θ

O

B
s
θ
r A
s
θ
=
r

aire du secteur
= aire du cercle

A
=2
πr

relation entre
degrés et radians

exemple 6.1.1

pour convertir des
degrés en radians, on
multiplie la mesure en
π
degrés par 180

exemple 6.1.2

pour convertir des
radians en degrés, on
multiplie la mesure en
180
radians par
π

exemple 6.1.3

s = ?
π/3
r = 6

figure 6.1.4

définition 6.1.2

les six rapports
trigonométriques

O

P (x, y)
r
θ
x

y

θ
côté adjacent

André Lévesque

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

Comme la circonférence d’un demi-cercle de rayon r estπ quer etθ
= s/r, un angle de 180° correspond à un angle en radians de
θ s = = π = rπ
r r
Par conséquent 180° =πradians .

Convertir 30° en radians.
____________

Une simple règle de trois permet d’effectuer la conversion. Siθ est la
quantité cherchée,
30°× π π
 180° =π
 30° =θ ⇒ θ 6 180° = =


Convertirπ/4 radians en degrés
____________

Siθest la quantité cherchée,
 180° =π

 θ =π/4

⇒

θ =π/4×π 180°° = 54

Calculer la longueur de l’arc de cercle de la figure 6.1.4.
____________

On a S = rθ(oùθest un angle en radians)
= 6(π/3)
= 2π (6,28)

Soitθ un angle en position standard et P(x, y) un point situé à une
distance r de l’origine O sur le côté terminal de l’angle.
r
sinus: sinθosécante:cosec =y rc;θ
=
y
cosinus: cosθ= erc : sxtéec;ansθ r= x
tangente: tgθgentotanx ;c= y gt :eocθx y =

Si le point P(x, y) est dans le premier quadrant alorsθ est un angle
aigu d’un triangle rectangle. Dans un tel cas, on peut définir les six
rapports trigonométriques de la manière suivante.
sinθ ces =c tô époopséhypoténuse ;coθ= yh étopsenutécôpp oéos
cosθ ces; = édac tônthyjacenusepotéθ opyh = côsenutéacdj atéent
tgθ tgntceco ; = côté tô édaajo ppsocéθ= ecajôctntôc da éépposté o

6-2

les six fonctions
trigonométriques

le cercle
trigonométrique

exemple 6.1.4

(0, 1)

π/2

exemple 6.1.5

5

θ

52- 42= 3

4

angles remarquables

sin(π/6) = 1/2
cos(π/6) =√3/2
sin(π/4) =√2/2

cos(π/4) =√2/2
sin(π/3) =√3/2
cos(π/3) 1/2
=

André Lévesque

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

Les six rapports trigonométriques permettent de définir six nouvelles
fonctions:sinus (sin),cosinus (cos),tangente (tg),cotangente (cotg),
sécante (sec)etcosécante (cosec)L’étude de ces fonctions est grande-.
ment simplifiée lorsqu’elle est faite à partir d’un cercle de rayon 1.

On considère d’abord un cercle de rayon 1
centré à l’origine d’un plan cartésien que l’on(cosθ, sinθ)
nommecercle trigonométrique. On trace un
angle deθradians ayant pour sommet le point0θ
(0, 0) et dont l’un des côtés repose sur l’axe 0)( ,
positif des x. L’autre côté rencontre le cercle en
un point (x, y). On appelle

•sinθ la valeur de y,•cosecθ la valeur de 1/y,
•cosθ la valeur de x,•secθ 1/x, la valeur de
•tgθ y/x, la valeur de•cotgθ la valeur de x/y.

Trouver sin (π/2) , cos(π/2) , tg(π/2) , cotg(π/2) , sec(π/2) et cosec(π/2).
__________________________________
L’angle deπ/2 est associé au couple (x, y) = (0, 1) ;
⇒sin(π/2) = 1 ; tg(π/2) = 1/0 ( /∃) ; sec(π / (/2) = 1/0∃)
cos(π/2) = 0 ; cotg(π cosec( ; = 0/2) = 0/1π = 1/2) = 1/1

Si sinθ= 4/5 (0<θ<π/2), trouver cosθ, tgθ, cotgθ, secθ ,cosecθ
__________________________________
sinθ no ahaytregon io Pdealr leta 5 ,ap ruse = 4éhypoténcô =ospp oté

nt√
côté adjace = 52- 42 3 =
côté adjacent
⇒cosθ =53étopyh =

nuse
tgθ = côté opposda étôcé tnecaj3 4=
côté ad 3
cotgθé = 4 = o étsoppecajôctn

;

;

5
secθajectn = 3 h =otypusénôtecadé
hypoténuse 5
cosecθ ôcétosé opp 4= =

Il est possible à l’aide de la géométrie élémentaire d’obtenir la valeur
exacte de sinθet de cosθlorsqueθ=π/6,θ=π/4 ouθ=π/3.

π/6

1

3/2

( 3/2,1/2)

1/2

π/4

1

2/2

6-3

( 2/2, 2/2)

2/2

π/3
1/2

(1/2, 3/2)

3/2

(+,+)

7π/6 (210°)→ (- 3/2, -1/2)

5π/4 (225°)→ 2/2) -(- 2/2,

4π/3 (240°)→ 3/2)(-1/2, -

exemple 6.1.6

π/3 (60°)→ (1/2, 3/2)

π/4 (45°)→ 2/2)( 2/2,

π/6 (30°)→ ( 3/2, 1/2)

7π/4 (315°)→ ( 2/2, 2/2) -

5π/3 (300°)→ (1/2, - 3/2)

3π/2 (270°)→ (0, -1)

6-4

(-,-)

(-,+)

(+ -)
,

11π/6 (330°)→ ( 3/2, -1/2)

( 3/2, 1/2)
π/6

0 (0°)(→,10 )

André Lévesque

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

π(180°)→1,(−0 )

5π/6 (150°)→ 1/2)(- 3/2,

2π/3 (120°)→ (-1/2, 3/2)
3π/4 (135°)→ (- 2/2, 2/2)

π/2 (90°))1, (0→

II en est de même pour les angles associés à des couples symétriques sur
le cercle trigonométrique.

cotg(π/6) , sec(π/6) et

Trouver sin(π/6) , cos(π/6) , tg(π/6) ,
cosec(π/6).

____________

L’angle deπ/6 est associé au couple
(x, y) (√3/2, 1/2) ;
=

⇒sin(π/6) = 1/2

cos(π/6) =√3/2
tg(π/6) =√2/1 = 2/3√3 1= √ 3 1√√ 33 =√33

cotg(π/6) =√2/3 2/1 = √3
sec(π/6) =√2/ = 13√2 3= √32 √√2 33 = √33
cosec(π) = 21 = 26/

identités
trigonométriques

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

Les fonctionssinus et cosinus sont périodiquesde période 2π.

une fonction ƒ(x) est(.n2oisc(.s1θθ± k2k2 ± ππ))= cos =s ni θθ(k est un nombre entier)
périodiqu