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Fiche Cours
Nº : 32009 MATHEMATIQUES Série S
Fiche 9 : Dénombrement
Plan de la fiche
I - Les listes
II - Arrangements
III - Permutations
IV - Combinaisons
V - Binôme de Newton
VI - Principe fondamental du dénombrement
I - Les listes
p-liste
E est un ensemble fini de n éléments (n entier, n ≥ 1) et p un entier (p ≥ 1).
Une p-liste est une suite ordonnée de p éléments de E (éléments non nécessairement distincts).
Exemple
On joue quatre fois à pile ou face, et on note à chaque lancer le résultat obtenu (P pour pile et F pour face).
Un résultat de cette expérience est une succession ordonnée de P et de F, par exemple (P, P, F, F) : les résultats sont
des 4-listes de l’ensemble {P, F}.
Couple, triplet
Un couple (a,b) est une 2-liste
Un triplet (a,b,c)3-liste
Ordre
Dans une liste, on tient compte de l’ordre.
P,P,F,F ≠ P,F,P,F( ) ( )
Ne pas confondre avec les ensembles : P,P,F,F = P,F car dans un ensemble l’ordre n’intervient pas et on ne répète pas { } { }
plusieurs fois le même élément.
Dénombrement
pLe nombre de p-listes prises parmi n objets est n car :
• il y a n façons de choisir le premier élément ;
• il y n façons de choisir le second élément (les répétitions sont autorisées) ;
• il y a n façons de choisir le troisième élément (les répétitions sont autorisées) ; et ainsi de suite…
Exemple
4Dans l’exemple précédent, il y a 2 = 16 listes à 4 éléments pris dans l’ensemble {P,F }.
Un code de téléphone portable est une 4-liste de chiffres pris dans l’ensemble {0,1, 2, ...

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Français

Nº : 32009

Plan de la ﬁche

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Fiche 9 : Dénombrement

I - Les listes II - Arrangements III - Permutations IV - Combinaisons V - Binôme de Newton VI - Principe fondamental du dénombrement

I - Les listes

p-liste Eest un ensemble ﬁni denéléments (nentier,n ≥ 1) etpun entier(p ≥ 1). Unep-liste est une suite ordonnée depéléments deE(éléments non nécessairement distincts).

Série S

Exemple On joue quatre fois à pile ou face,et on note à chaque lancer le résultat obtenu (Ppour pile etFpour face). Un résultat de cette expérience est une succession ordonnée dePet deF, par exemple(P, P, F, F)résultats sont: les des4-listes de l’ensemble{P, F}. Couple, triplet Un couple(a,b)est une2-liste Un triplet(a,b,c)est une3-liste

Ordre Dans une liste,on tient compte de l’ordre. (P, P, F, F)≠(P, F, P, F)

Ne pas confondre avec les ensembles:{P, P, F, F}={P, F} cardans un ensemble l’ordre n’intervient pas et on ne répète pas plusieurs fois le même élément.

Dénombrement p Le nombre dep-listes prises parminobjets estncar : • il y anfaçons de choisir le premier élément ; • il ynfaçons de choisir le second élément (les répétitions sont autorisées) ; • il y anfaçons de choisir le troisième élément (les répétitions sont autorisées) ;et ainsi de suite…

Exemple 4 Dans l’exemple précédent,il y a2=16listes à 4 éléments pris dans l’ensemble{P, F}. Un code de téléphone portable est une4-liste de chiffres pris dans l’ensemble{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} caron tient compte de l’ordre et les répétitions sont autorisées.

4 Le nombre de codes est donc10=10000.

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Nº : 32009

II - Les arrangements

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

p-arrangement Eest un ensemble ﬁni comportantnéléments (nentier,n ≥ 1) etpest un entier(p ≥ 1).

Unp-arrangement d’éléments deEest unep-liste d’éléments deEqui sont deux à deux distincts.

Dénombrement Le nombre dep-arrangements denobjets estn×(n−1)×(n−2)×..................×(n−p+1)car : • il y anfaçons de choisir le premier élément ; • il y an – 1façons de choisir le second élément (les répétitions ne sont pas autorisées) ; • il y an – 2et ainsi de suite…pas autorisées) :façons de choisir le troisième élément (les répétitions ne sont •…n – (p – 1)façons de choisir lep-ième élément (on en a tirép – 1auparavant). Ce nombre correspond à la touchenPrdes calculatrices.

III - Permutations

Permutations deE Eest un ensemble ﬁni denéléments (nentier,n ≥ 1) Une permutation deEest unn-arrangement d’éléments deE. On peut aussi dire que c’est unen-liste d’éléments deux à deux distincts deE.

Exemple Les six permutations deE={a, b, c}sont : (a, b, c),(a, c, b),(b, a, c),(b, c, a),(c, a, b),(c, b, a)

Série S

Attention aux notations :Eest un ensemble, ses éléments sont énumérés entre deux accolades, les permutations deEsont des listes, ellessont notées entre deux parenthèses.

Dénombrement Le nombre de permutations deEest le nombre den-arrangements deE, il est doncégal à : n×(n−1)×(n−2)×...........×(n−n+1)=n×(n−1)×(n−2)×...........×(1).

Factorielle Déﬁnition :n!est l’entier naturel déﬁni par : 0! = 1et(n+1)!=(n !)×(n+1)pour tout entier natureln. Par exemple :1! = 1;2! = 2;3! = 6;4! = 24;5! = 120…

On démontre par récurrence quen×(n−1)×(n−2)×...........×(1)=n !.

Par conséquent le nombre de permutations d’un ensemble comportantnéléments estn!.

IV - Les combinaisons

p-combinaison denobjets Une combinaison depéléments deEest une partie deEcontenantpéléments(0 ≤ p ≤ 1). La distinction entrep-arrangements etp-on ne tient pas compte de l’ordre.combinaisons est que dans la seconde,

Dénombrement n Le nombre dep-combinaisons denobjets est noté.   p  

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Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Formules : nn×(n−1)×(n−2)×........................×(n−p+1) =   p p!   nn ! =   pp!×(n−p)!  

n Les nombress’appellent aussi les nombres binomiaux.   p   Ce nombre correspond à la touchenCrdes calculatrices.

► À SAVOIR Propriétés des nombres binomiaux Pour tout entier naturelnet tout entier naturelptel quep ≤ n: n • estun entier ;   p   n nnn •=;=1;=n      p n−p01     

Série S

Formule de Pascal :pour tout entier naturel non nulnet pour tout entier naturelptel que1 ≤ p ≤ n – 1: n n−1 n−1 = +     p pp−1    

V - Le binôme de Newton

► À SAVOIR Formule de binôme de Newton nn nn n  n 0 n−1 1 n−2 2 0 n (a+b)=a b+a b+a b+...+a b      0 12 n      k=n nn n−k k On note :(a+b)=a b. ∑  k=0k   Elle est souvent utilisée dans le casa = xetb = 1: nn n nn n  n n−1 n−2 n−k  (x+1)= x x x ... x ...  + + ++ ++ 0 12 k n       k=n nn  n−k On note(x+1)=x . ∑  k=0k  

Nombre de parties d’un ensemble En posantx = 1dans la formule précédente,il vient : nn n n n n n n−1 n−2 n−k 1+1=1+1+1+...+1+...+. ( )      0 12 k n       k=n n n n n n n n Soit2= + + +...+ +...+ =.      ∑  0 1 2k nk=0k       

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Nº : 32009

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MATHEMATIQUES

n Ainsi2est la somme : • du nombre de parties deEà 0 élément (l’ensemble vide) ; • avec le nombre de parties deEà 1 élément (les singletons) ; • avec le nombre de parties deEà 2 éléments (les paires) ; • avec le nombre de parties ànéléments (la partie pleine). n En conclusion,2représente le nombre de parties d’un ensemble ànéléments.

VI - Principe fondamental du dénombrement

Lorsqu’il s’agit de choisirpéléments parmindoit se poser les deux questions suivantes :, on • Peut-on tirer deux fois le même élément ? • L’ordre dans lequel on choisit les éléments est-il important ? Ce tableau récapitule tous les cas que l’on peut rencontrer à l’examen et qui sont au programme.

Avec ordre Sans ordre

Avec répétition

liste hors programme

Sans répétition

arrangement combinaison

« Principes fondamentaux »,Méthode :ﬁche exercices n°9 « Dénombrement ». ﬁche exercices n°9 « Dénombrement ».Méthode :« Principe de l’événement contraire », Méthode :« Comprendre un énoncé »,ﬁche exercices n°9 « Dénombrement ».

Série S

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