Fibres paraboliques de rang et fonctions theta generalisees

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Fibres paraboliques de rang 2 et fonctions theta generalisees Christian Pauly Laboratoire J.-A. Dieudonne Universite Nice-Sophia-Antipolis Parc Valrose F-06108 Nice Cedex 02 France e-mail: 1 Introduction Soit C une courbe lisse, irreductible et projective sur lC de genre g ≥ 2 et notons SUC(2) l'espace de modules parametrant les classes de S-equivalence de fibres vectoriels semi-stables de rang 2 et de determinant trivial. On sait que le groupe de Picard de SUC(2) est isomorphe a ZZ. Si l'on note L le generateur ample, alors les sections globales de Lk sont appelees fonc- tions theta generalisees d'ordre k et les dimensions des espaces de sections H0(SUC(2),Lk) sont donnees par la formule de Verlinde. On a pu etablir des relations entre les fonctions theta generalisees sur SUC(2) et les fonctions theta (ordinaires) sur la jacobienne J de la courbe C. Ainsi, A. Beauville a montre que, si l'on considere le morphisme naturel ? : J ?? SUC(2), le morphisme donne par l'image reciproque ?? : H0(SUC(2),L) ?? H0(J,OJ(2?)) = V est un isomorphisme [B1]. De plus, via cet isomorphisme, on obtient des morphismes de multiplication µk : SkV ?? H0(SUC(2),Lk) et on a pu montrer que µ2 est un isomorphisme [B2] et que

variete abelienne

fibres paraboliques

dimensions des espaces de sections h0

espace de modules

fibre en droites oa

morphisme

quotient qpi de dimension

rang

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Fibresparaboliquesderang2etfonctions thˆetageneralisees Christian Pauly

LaboratoireJ.-A.Dieudonne UniversiteNice-Sophia-Antipolis Parc Valrose F-06108 Nice Cedex 02 France e-mail: pauly@math.unice.fr

1 Introduction SoitCunecourbelisse,irreductibleetprojectivesurCldegenre g  2 et notons SU C (2)l’espacedemodulesparametrantlesclassesdeS-equivalence debresvectorielssemi-stablesderang2etdedeterminanttrivial.On  sait que le groupe de Picard de SU C (2)estisomorpheaZZ.Sil’onnote L legenerateurample,alorslessectionsglobalesde L k sontappelees fonc-tionsthˆetageneralisees d’ordre k et les dimensions des espaces de sections H 0 ( SU C (2)  L k )sontdonneesparlaformuledeVerlinde. Onapuetablirdesrelationsentrelesfonctionstheˆtageneraliseessur SU C (2)etlesfonctionstheˆta(ordinaires)surlajacobienne J de la courbe C . Ainsi, A. Beauville amontreque,sil’onconsiderelemorphismenaturel  : J → SU C (2),lemorphismedonneparl’imagereciproque   : H 0 ( SU C (2)  L ) → H 0 ( J O J (2)) = V est un isomorphisme [B1]. De plus, via cet isomorphisme, on obtient des morphismes de multiplication  k : S k V → H 0 ( SU C (2)  L k ) et on a pu montrer que  2 est un isomorphisme [B2] et que  4 est surjectif [vG-P] si aucunethˆeta-constantede C ne s’annule. 1

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