Feuille d exercices n°10

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Feuille d'exercices n°10

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Mathématiques Arithmétique I, II et III Feuille d’exercices n°10 Arithmétique I, II et III (du lundi 30 novembre 2009 au vendredi 18 décembre 2009)

On notea∧ble pgcd deaetb.

Exercice 1 3 Soit(a, b, d)∈Z. Montrer que

  2 d|aetd|b=⇒ ∀(u, v)∈Z, d|au+bv ∗

Exercice 2 ∗ Soitn∈N. Montrer que le produit denentiers naturels consécutifs est divisible parn!.

Exercice 3 Déterminer en utilisant l’algorithme d’Euclide48∧27et9100∧1848.

Exercice 4 3 Soit(a, b, c)∈N. 1. Montrerque

2. Endéduire que

Exercice 5 3 Soit(a, b, c)∈Z∗. 1. Montrerle théorème de Bézout :

2. Montrerque

(c|aetc|b)⇐⇒c|a∧b

ac∧bc= (a∧b)c

2 a∧b= 1⇐⇒ ∃(u, v)∈Z, au+bv= 1

(a∧b= 1eta∧c= 1)⇐⇒a∧(bc) = 1

1

InfoSup 09/10 Epita