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Exercices - Topologie en algèbre linéaire et dans les espaces de matrices: indications Exercice 1- Majoration de valeur propre-Math Spé-?

Exercice 2- Ensemble des matrices inversibles-Math Spé-?? Utiliser le déterminant pour le côté ouvert, perturber toute matrice par un multiple de l’identité pour le côté dense. Ne pas oublier que l’ensemble des valeurs propres est ﬁni. Exercice 3- Ensemble des matrices orthogonales-Math Spé-?? Vériﬁer qu’il est fermé borné. Exercice 4- Polynômes caractéristiques-L2/Math Spé-??

1. Évidemment,Pest intimement lié avecA! 2. Appliquerla question précédente. 3.fetgsont continues comme composées d’applications continues. SiAest inversible, c’est clair. Sinon, montrer qu’il exister >0tel quef(t) =g(t)sur]0, r[(prendrer= min{λ;λ∈ Λ}oùΛest l’ensemble des valeurs propres non-nulles deA). 4. Questionprécédente ! Exercice 5- Endomorphismes 1-lipschitziens-L3/Math Spé-???

n 1. Prendrex∈ker(u−IdE)et trouver une formule pouru(x). 2. Utiliserla question précédente et le théorème du rang. 3. Décomposertoutx∈Edans la somme directe précédente, et regarder l’image parun. Exercice 6- Matrices diagonalisables-Math Spé-??? Perturber la trigonalisation d’une matrice. En particulier, une matrice admettantnvaleurs propres distinctes est diagonalisable. Exercice 7- Intérieur de l’ensemble des matrices diagonalisables-L3/Math Spé/Agrégation -??? La réponse est : l’ensemble des matrices diagonalisables dont toutes les valeurs propres sont distinctes. Exercice 8--Oral Mines-Ponts-???? Montrer que pour la norme usuelle deL(E), la partieHest compacte. Puis utiliser la continuité du déterminant, et la conditionu(K)⊂K. Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc... dans ces exercices, merci de la signaler à geolabo@bibmath.net Venez poursuivre le dialogue sur notre forum :

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