Exercices PGCD-PPCM
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Aide: On rappelle que tout diviseur commun à deux
entiers divise aussi leur.
Exercice n°10
Soitetdeux entiers naturels non nuls.
1. Démontrer que :
a. divise .
b. divise
c. Conclure.
2. Soit quatre entiers relatifs.
Démontrer que que si, alors
.
Exercice n°11
Si on diviseetpar un même entier positif,
on obtient respectivementetcomme restes.
Quel peut être cet entier ?
1.
2.
3.
4.
Exercice n°2
En utilisant la décomposition en facteurs premiers,
déterminer, dans chaque cas, .
1.
2.
3.
Exercice n°1
Déterminer, sans calcul, le PGCD des entiers m et n
suivants :
Exercice n°8
Pour tout entier naturelstrictement positif, on
considère les nombreset.
On noteleur.
1. Démontrer que les valeurs possibles desont
ou.
2. a.A l’ aide d’ un tableau, dterminer selon les
restes demodulo, tous les restes possibles
de la division depar.
b. En déduire pour quelles valeurs dele
nombreest divisible par.
Vérifier alors queest lui aussi divisible par.
Quel est alors ledeet de?
Exercice n°9: Algorithme d’ Euclide
En utilisant l’ algorithme d’ Euclide, dterminer dans
chacun des cas le PGCD(a ; b).
1.
2.
1. Quel est lede deux entiers pairs
consécutifs ?
2. Quel est lede deux entiers impairs
consécutifs ?
PGCD-PPCM (exercices)
Exercice n°6
Soitun entier naturel.
Déterminer, suivant les valeurs de, les valeurs
possibles de .
Exercice n°3
Monsieur Jean Sairien veut daller sa terrasse avec des
carreaux carrés les plus grands possibles et dont la
mesure du côté est un nombre entier de centimètres.
La terrasse mesure sur .
Quelle sera, en, la mesure du côté des carreaux
choisis ?
Exercice n°4
Démontrer que, pour tout entier naturel, 7 et
sont premiers entre eux.
PGCD
Exercice n°5
Exercice n°7
Soit ;.
Démontrer que si un natureldiviseet,
alors il divise.
En déduire les valeurs possibles de
.
Déterminer, selon les valeurs de,
.
2.
1.
ENTIERS PREMIERS ENTRE EUX
et théorème de Bézout
Exercice n°12
Les nombres a et b sont-ils premiers entre eux ?
1.
2.
3.
Exercice n°13
est un entier naturel quelconque ; et
.
Prouver que sidiviseet, alorsdivise.
Que peut-on en déduire pouret?
Exercice n°14
Dterminer tous les couples d’ entiers naturels
tels que et.
Exercice n°15
Dterminer tous les couples d’ entiers relatifs tels
que et .
Exercice n°16
Soit n un entier relatif.
Pour ue dele nombre
1. q lle(s) valeur(s)
est-il un entier ?
s
2. dePour quelle(s) valeur( )la fraction
est-elle irréductible ?
Exercice n°17
est un entier naturel non nul.
On considère les nombresettels que
et .
1. Prouver quediviseet.
2. est-il ledeet?
Exercice n°18
Soit. Simplifier .
Que peut-on en déduire pour les entierset
?
Exercice n°19
En trouvant à chaque fois une combinaison linéaire
adaptée, démontrer que les entiersetsont premiers
entre eux :
1.
2.
Exercice n°20
Déterminer, dans chacun des cas, un couple
d’ entiers relatifs solution de l’ quation donne.
1.
2.
3.
4.
Exercice n°21
etdésignent des nombres entiers strictement
positifs tels que .
Démontrer, en utilisant le théorème de Bézout, queet
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