Exercices Géométrie – L’inversion
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Éléments de géométrie Arnaud Bodin, avril 2012 Exercices – L'inversion 1 L'inversion 1 2 Homographie 3 3 Dispositifs mécaniques 4 1 L'inversion Exercice 1 (Cercle et droite) 1. Donner l'équation complexe du cercle C de centre 2 + i et de rayon √ 5. Donner une paramétrisation polaire du cercle C ? de centre 3i et de rayon 1. Calculer l'intersection de C et C ?. 2. Soit C le cercle de centre 1+i et de rayon 1 et D la droite passant par les points d'affixe 1 et 1+ i. Déterminer l'image de C et D par chacune des transformations suivantes : (a) z 7? 2ze? ipi 4 + i ; (b) z 7? (1+ i)z+ i. i 0 1 C D 3. Donner l'équation complexe de la droite (AB) passant par les points d'affixe ? et ?. 4. Étant fixés ? ? C?, k ? R, trouver l'équation complexe des droites perpendiculaires à la droite d'équation ?¯z+?z¯ = k. Exercice 2 (Inversion) Soit l'inversion ? de centre O et de rayon 1 définie par ?(z) = 1z¯ . Déterminer les images, par ?, de chacune des figures suivantes : i 0 1 C1 C2 D2 D1 1.
Voir
- cercle
- cercle de centre
- droite d2 d'équation réelle
- droite passant par le point d'affixe
- calculs avec l'écriture complexe de ?
- inversion de centre ?
- calcul avec les équations complexes
Èlèments de gèomètrie
Arnaud Bodin, avril 2012
Exercices – L’inversion
1 L’inversion Exercice 1(Cercle et droite) √ 1. Donnerl’quation complexe du cercleCde centre2+i et de rayon5. Donner une 0 paramtrisation polaire du cercleCde centre3i et de rayon1. Calculer l’intersection 0 deCetC. 2. SoitCle cercle de centre1+i et de rayon1etDla droite passant par les points d’affixe 1et1+i. Dterminer l’image deCetDpar chacune des transformations suivantes : iπ − (a)z7→2ze+i; 4 (b)z7→(1+i)z+i. 3. Donnerl’quation complexe de la droite(AB)passant par les points d’affixeαetβ. ∗ 4. Ètantfixsω∈C,k∈R, trouver l’quation complexe des droites perpendiculaires á la droite d’quationωz+ωz=k. Exercice 2(Inversion) 1 Soit l’inversionιde centreOet de rayon1dfinie parι(z) =. Dterminer les images, par z ι, de chacune des figures suivantes : 1. ladroiteD1d’quation relle(y=x); 2. ladroiteD2d’quation relle(y=x+1); 3. lecercleC1de centre(0, 2)et de rayon2; 4. lecercleC2de centre(0, 2)et de rayon1.
1
1 L’inversion 2 Homographie 3 DispositifsmÉcaniques D
i
0
1
C1 C2
i
C
0 1
D2 D1
1 3 4
