Exercices de Mathématiques pour les Travaux Dirigés
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Exercices de Mathématiques pour les Travaux Dirigés
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ESSTIN Parc Robert Bentz - 2, Rue Jean Lamour 54519 Vandoeuvre les Nancy Cedex tel +33 (0)3 83 68 50 00 fax +33 (0)3 83 68 50 01
ExercicesdeMathe´matiques
pourlesTravauxDirig´es
1`e´ re annee
AVANT-PROPOS
Cepolycopi´eestunrecueild’exercicesdemath´ematiques`al’usagedese´l`eves enpremi`ereann´ee`al’EcoleSup´erieuredesSciencesetTechnologiesdel’Ing´e-nieur de Nancy. Leniveaudesexercicespropos´esestassezvariable:certainssontdes applicationsdirectesducours;d’autres,marqu´esd’unaste´ristique,sontun peudifficiles,maisilspeuventtoujoursˆetrere´solusaveclesmoyensdont disposentles´el`evesdepremi`ereann´ee. Les exercices sont pour la plupart classiques. Les plus originaux provi-ennentdelabasededonne´esEXEMAALT(ExercicesdeMathe´matiques Alternatifs), en copyleft LDL. Les noms de leurs auteurs respectifs sont men-tionne´senbasdepage.
L. Rosier
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
10. 11. 12.
13.
SOMMAIRE
1er Semestre Ensembles - Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suite ´ iques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s numer G´eome´trieaffineeteuclidienne......................... 4.1 Barycentre et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Produit vectoriel et produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3G´eom´etrieanalytique............................... Applications deRdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5.1Limite-Continuite´................................. 5.2Applicationsde´rivables.............................. 5.3Applicationsr´eciproques............................ 5.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P l ˆ . . . . . . . . . . . . . . . . o ynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FormuledeTaylor-Lagrangeetde´veloppementslimite´s.. Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Int´egralessimples....................................... 9.1Inte´graledeRiemann............................... 9.2Calculdeprimitivesetd’inte´grales.................. 2nd Semestre Equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1Topologieg´en´erale-limites........................ 11.2Compacit´e......................................... 11.3De´rive´espartielles................................. 11.4 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alge`brelin´eaire........................................ 12.1Matrices-Syst`emeslin´eaires...................... 12.2De´terminants...................................... 12.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4Applicationsline´aires.............................. 12.5R´eductiondesendomorphismes.................... Int´egralesdoubles......................................
1 3 5 8 8 8 9 13 13 14 16 16 18 20 22 23 23 26
28 31 31 32 34 37 39 39 42 44 48 53 57
1. Ensembles - Applications
Ex. 1Dans chacun des cas suivants mettre dans l’espacele symbole ap-propri´eparmi∈6∈⊂6⊂: a)1C; b){2}R; c){31−2i}Z; d)2Q; e)R\QC\Z; f )π R; g){π}R. Ex. 2rpanegise´dnOIl’intervalle[04]nctosionecnofnoitre`dselesdeI dansRe:ntd´efinieocsniuavdslefa¸a f1(x) =x2+ 3, f2(x) =x+ 1, f3(x) =−x2+ 4x+ 2. a)Tracersurunemeˆmefigurelescourbesrepre´sentativesdef1,f2etf3. b) Etudier chacune des assertions suivantes et dire si elle est vraie ou fausse. Onjustifierasar´eponseparunargumentd’unea`deuxlignesauplus. (A1)∃M∈Rtel que∀x∈I f1(x)≤M; (A2)∀x∈I,∃x0∈Itel quef1(x) =f2(x0); (A3)∃x∈Itel que∀x0∈I f1(x0)≤f3(x); (A4)∃x0∈Itel que∀x∈I f1(x0)≤f3(x); (A5)∀x∈I,f2(x)≤f1(x). Ex. 3Dans chacun des cas suivants, dire si l’applicationf:R→Rest injective, surjective ou bijective : a)f(x) =x2; b)f(x) =x3; c)f(x) =x(x2−1); d)f(x) = expx; e)f(x) = sinx. Ex. 4SoitA={a1 an}un ensemble fini. 1. Soitf:A→A. Montrer quefest injective si, et seulement si,fest surjective.Ler´esultatpersiste-t-ilsiAest infini ? 1
2. Combien y a-t-il de bijections deAsurA?
Ex. 5majorant du nombre de chiffres d’un entierTrouver un n.
Ex. 6e´rme´re´nuqs’unulpuSppsonorgnesoitand’´epa5%par an, et que les int´erˆetsacquisa`lafindechaqueann´eeviennents’ajouteraucapital.Au boutdecombiend’ann´eeslecapitalaura-t-ildouble´?
2
