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Exercices Alternatifs

Exemplesdesyst`emesdynamiquesline´aires,matricesstochastiques °ic0220c´drerFe´Le Roux(copyleftLDL : Licence pour Documents Libres). Source:systemes dynamiques lineaires.tex. Version imprimable:systemes dynamiques lineaires.pdf ` Alge`brelin´eaire.GxdiEeUumeD`en´aneeelgnde´pgogaeuqi:.AAquoi¸casert. Objectifs et commentaires. ctif“me´ta”:voircommentunmˆemeconceptmathe´matiquepeutmode´liserdessituationsissuesdedo-mainesvari´es,etcommentunth´eor`emeabstraitpeutre´sumertoutescessituations,cequi illustrelag´en´eralit´edesoutilsde´veloppe´sparlesmathe´maticiens; d’ouverture:donneruneid´eedecequ’estunsyst`emedynamique; ctifinterne:voirdessituationsou`lespuissancesdematrices,etlesvecteurspropres,ontunsensconcret (voir ci-dessous) ; “technique”:calculdesuitesd´eﬁniesparunerelationder´ecurrencelin´eaire,puissancesd’unematrice, diagonalisation.

Remarquesmathe´matiquesseme`tsysselsuot,orlbe`emcsohsisisedelanaturedespuacA propose´sici(saufladerni`erequestion)sontre´gispardesmatricesdetransition(cequisigniﬁe que les coeﬃcients sont positifs, et que la somme des coeﬃcients de chaque colonne vaut1). On peutmontrerqu’unetellematriceatoujoursunedirectionpropredanslecoˆnepositif(ensembledes 1 vecteursdonttouteslescoordonne´essontpositives),quicorresponda`lavaleurpropre1plus,. De silamatriceesttransitive(c’est-a`-direqu’ilexisteunecertainepuissancedonttouslestermessont strictementpositifs),alorscettedirectionpropreestunique,etattiretoutvecteurducoˆnepositif. Autrementdit,lessyste`mesdynamiquesconside´re´siciontununiquepointﬁxequiattiretoutesles orbites. 1 L’existencepeuts’obtenirfacilementcommeconse´quenceduthe´ore`medepointﬁxedeBrouwer,maispeutaussise prouverpardesconsid´erationsd’alge`brelin´eaire´ele´mentaire:voirleth´eore`medePerron-Frobenius,parexempledans le livre Katok, Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge University Press, 1995.

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