Exercice sur les vecteurs

Exercices sur les vecteurs

Exercice 1
ABCD ses diagonales se coupent enest un parallélogramme etO.
(1) Compléter par un vecteur égal :
JJJG
a)AB=...
JJJG
b)BC=...
JJJG
c)DO...
=
JJJG
d)OA=...
JJJG
e)CD=...
(2) Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier :
JJJGJJJGe)AB=DC
a)OB=OC
JJJG
b)[AB] = [DC] f)O=milAC
JJJGJJJG)JJJG JJJG
c)OA=OC g milBD=milAC
G JJJ
d)OA=OCh)JAJAJ=BBG


Exercice 2
En utilisant le quadrillage, dire pour
chaque égalité si elle est vraie ou fausse :
JJJGJJJG
(1) AB=EF
JJJGJJJG
(2) CD=−AB
JJJGJJJG
(3) DA=DB
JJJ
(4)EDG=JBJDJG

JJJGJJJG
(5) AE=BF
(6) JEJFJG=−JDJJCG

Exercice 3
SoitABCun triangle quelconque.
(1) Construire :
JJJGJJJG
• le pointNtel queAN=BC;
JJJGJJJG
• le pointPtel quePA=BC;
JJJJGJJJG
•le pointMtel queBM=AC.

(2) Montrer queA=mil[NP],B=mil[PM]etC=mil[MN].
(3) Quel est le rapport des aires des trianglesABCetMNP? Justifie

r !

Exercice 4
Sur la figure ci-contre, formée de
parallélogrammes juxtaposés, déterminer :
(1) JJJG
un représentant deDB
JJJG
(2) trois représentants deAE
JJJG
(3) un représentant deFGdorigineB
(4) JJJG
un représentant deCFdextrémitéE
(5) unG
0représentant de
JJJG
(6) un représentant de−AF

Exercice 5

(1)

(2)
(3)


Reproduire le parallélogrammeABCD dans votre cahier puis ci-dessus
construire les pointsE,F,G,HetIdéfinis par :
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
CE=AC;BF=AC;DG=AC;
JJJG JJJG JJG JJJG
AH=−BC;IA=AC.
Quelle est la nature des quadrilatèresBCEFetDGEC.
Que représente le pointApour le segment[IC]?

orielles

Exercice 6
Calculer les sommes vect
utilisant la figure ci-contre :
JJJG JJJG
(1) AE+AO
JJJG JJJ
(2) AE+DFG
JJJ JJJG JJJG
(3) BDG−BA−AO
J
(4) OJJCG−JFJCJG
JJJ JJJG
(5) DOG+JBJJCG+AE
JJJGJJJG
(6) AB+AD




indiqu ées

en

Exercice résolu 7
Déterminer la somme des vecteurs su r chacune des figures suivantes et
expliquer votre démarche.
(1) 

(2)

(3)













(4)

(5)





(6)













(7)



(8)

(9)

















(10)





(11)

(12)















(13)

(14)

(15)















Exercice 8
G G
(1) Sur les figures (1) à (8) de lexercice 7, construireu−v
.
G G G
(2) Sur les figures (9) et (10) de lexercice 7, construireu−v−w.
G
(3) Sur les figures (11) et (12) de lexercice 7, construireuG=aG−b,
G
G G G G G G
vG=b−cGetw=a c. Quelle est la relation entreu,vetw?
−

Exercice résolu 9


Sur la figure ci-dessus, formée de para llélogrammes juxtaposés, déterminer un
représentant de
(1) JAJDJG+JCJFJGJJG JJG
(8) IF−FJ
(2) JGJCJG+JAJJCG ( ) JAJIG+JAJJEG JFJJG
9+
(3) JHJJEG+JBJJCG 0) ( JAJFJG+JHJDJG+JBJDJG
1
JJ
(4) JDJEJG−JDJHJG (11) JEG+JFJGJG−IJJDG
(5) JGJJG+JBJFJG (1JJJGGJJGJJ
2) GJ−DA+BI
JJ J
(6) JDJIG+JJIJG (13) JFJDJG+IAG+CJGJG−JFJHJG
JJJGJJJGJJJGJJJGJJJG
(7) FGG−JAJI (14) ED+AH+CF−FH
JJJGJJJGJJJGJJG
Déterminer le pointOsur la figure tel que :AO=CF+21FG−IA.
JJJGJJJGJJJGJJJG
Déterminer le pointPsur la figure tel que :EP=AD+21GC+AB

Exercice 10
Démontrer les propriétés vectorielles suivantes à laide dune figure.
(1) −(−aG) =aG (5) 2⋅(aG−bG)=2aG−2bG
(2) vG−uG=−(uG−vG) (6) uG+vG+uG=2uG+vG
(3) uG−(G+G)uGvG G(7) −3⋅(2uG) =−6uG
v w=− −w
(4) aG−(eGrG)aGeG+rG(8) 2⋅(−53zG) =−031zG

−=−

Exercice résolu 11

Sur la figure ci-dessus, construire le poin t
(1) telGJJJGJJ(5) Mtel queJMJJAG=32JEJFJG
I queEI=2AB
JJ JJJG
(2) J tel queGJG=−AB (6) Ntel queJNJHJG=−23JDJJCG
(3) Ktel queJCJKJG=−52JAJJBG (7) Ptel queJEJPJG=2JEJFJG+JCJDJG
el qJLJCJG=12JCJDJG(8) Qtel queJHJJQG=2JAJJBG−JCJDJG
(4) Lt ue

Exercice 12





SoitABCD les points onstruireun parallélogramme. CM,N,P,Qdéfinis par :
JJJJG
JAJJMG=12AJBG+23JAJD;JBJNJG=23JBJDJG−31JAJCJG;
JJJG JJJG JJJG JJJG
JCJPJG=34JAJJDG−12JAJJBG+JBJJCG; 2AB+QD=3CD−21BC
.

Exercice 13

A etB cts étant deux points distin

inconnus Q,R,S,T,U,V,

vectorielles correspondantes :
JJJGJJJGJJJG
(1) AQ=AB+QB
(2) JAJRJG=JRJBJG
JJJGJJJG
(3) AS=5BS

W,

donnés, construire si possible les

X,

Y et

(4)

(5)

(6)

Z résolvant les en

JJJG
BT
JJJG
AU
JJJG
AV

JJJG JJJG
−3AT=2AB
JJJG G
+BU=0
JJJGG
+VB=0



points

équation

s

(7)

(8)

JJJJGJJJG
2AW=−WB

JJJG JJJG JJJG
XA+XB=2AB

Exercice 14

(9)
(10)

A etB donnés,étant deux points distincts
JJJJG JJJG G JJJG JJJG G
que : 2AM−3AB=0 etPA−5BP=0

Exercice 15

JJJGJJJG
2AY−3BY
JJJGJJJG
−2AZ+BZ

=1JAJBJG
2
JJJG
=2BA

construire les points

M etP tels

A,B etC étant trois points non alignés donn és, construire si possible les
points inconnusU,V,W,X,Y etZ résolvant les équations vectorielles en

correspondantes :
JJG JJJ JJJ
(1) UA+UBG+UCG=JBJCJG
JJJG JJJ
(2) AV−VBG−VJJCJG=G0
JJJJG JJJJG JJJJG JJJG
(3) 2AW−BW−CW=AB

Exercice résolu 16

(4)
(5)
(6)

JJJG JJJG JJJG G
−3XA+XB+XC=0
JJJGJJJGJJJGJJJG
AY−2BY+3CY=2AB
JJJGJJJGJJJGJJJGJJJG
AZ−3ZB=2CZ+AZ−BC

En observant la figure ci-dessus, compléter les relations de co linéarité suivantes :
(1) JAJEJG=...JAJBJGetJAJBJG=...JAJEJG (10) JJJJGJJJJGJGJJJGJJ
MK=...KGetGK=...MK
(2) GJJDJG=...JJJPGetJJJPG=...GJJDJG ) ( JJJGJJJG JJJG JJJG
11DN=...HRetHR=...ND
( ) JJG JJJGetJGJJJJJGJGGJJJJGGJJJJJ
3CL=...QN NQ=...CL (12) LA=...RBetRB=...AL
JJJJGJJJGJJJGJJJG
(4) JDJJHG=...JAJJFGetJFJJAG=...HJDG (13) FL=...NEetNE=..LF
.
(5) GJJRJG=...IJJQGetIJJQG=...JGJJRG (14) GJJJGJJJetJJJJJJGG
KJ=...BP PB=...JK
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJ G
(6) OH=...OEetOE=...OH (15) AA=...AJMJetJBJBJG=...IJJJG
JJJJJGJJJG
(7) BJPJG=...LJGGetJPB=...LG (16) IJJOG=...JAJJRGetJRJJAG=...JOJIG
(8) QJJIG=...IJEJGetJJG..JJG (17) JBJJKG=...JCJLGetJBJJKG=...JLJCJG
IQ=.EI
JJG JJG JJG JJG( ) JJJJJJGGetJJJJJGJG
(9) JE=...JQetJQ=...JE 18GG=...AD AD=...GG



