Exercice équation de 2nd degré
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Equation du second degré à une inconnue
I Approche :
1.1. Etude d’une situation :
Un produit subit une baisse dex% puis une baisse de 3x%. Il a subi au total une baisse de 3,97%.
Calculezx.
Nous n’avons pas à choisir l’inconnue, c’estx.
Le coefficient multiplicateur associé à la baisse dex%est : 10 1 -x 0.
Le coefficient multiplicateur associé à la baisse de 3x% t : se3 1 01-x .0
Nous pouvons donc écrire :
Remarque.:
1.2. Retenons :
Toute équation d’inconnuexde la formeax² +bx+ c = 0est uneéquation du second degré à une
inconnue.
1.2. Recherche graphique :
ðTraçons la représentation graphique de la fonction f définie par f(x) =x² - 2xpour -2£x
Tableau de valeurs :
x 1 2 3 4 1 0 2 - -
f (x)
Tracer la courbe représentative de la fonction f.
£4
ðdes équations du 2° degré suivantes :Déterminons graphiquement les solutions
x² - 2x . = 0
x² - 2x- 3 = 0 ....
x² - 2x+ 1 ... 0
=
x² - 2x = 0+ 3 ...
ðles résultats dans le tableau suivantRegroupons :
a b cD =b²-4ac de solutions Nbre
x² - 2x= 0
x² - 2x- 3 = 0
x² - 2x1 = 0
+
x² - 2x = 0+ 3
Le nombreD =b²-4acest appelédiscriminant.
Conclusion :
..
..
..
..
ðExaminons les deux premiers cas :
D ñ0
-b -+ Db- D
a bD =b²-4ac 2a 2a x 1 x 2
x² - 2x= 0
x² - 2x- 3 = 0
b
4x²x- 5 = 0
+
a
D= 0
b
2a
-
x
0
D
x² - 6x + 9 = 0
x² + 5x+ 7 = 0
P (x) =a(x-x’) (x-x’’)
avecx’=-b+ D et x’’ =-b-
2a2a
SiD
III Résolvez les équations :
x² 5x- 24 = 0
+
3x² - 6x24 0
=
5x 2² -x- 3 = 0
D
0 ), on calcule l’expression
x² - 2x+ 1 = 0
II Propriété :
Pour résoudre l’équation du second degréax² +bx = 0+ c( a¹
D =b²-4acappelée discriminant de l’équation .
SiD á0, alors il n’y a pas de solution.
SiD
b
2 )²
a
dmet la racine double :- bet
= 0, alors P (x 2) aapeut s’écrire : P (x) =a(x+
ñ0, alors P (x) admet deux racines distinctesx’etx’’et peut s’écrire :
On appelle trinôme du second degré, le polynôme :
P (x) =ax² +bx+ c( a¹0 )
Le discriminant de ce trinôme , notéDest le nombreb² - 4ac.
Les racines de ce trinôme sont les racines de l’équa tionax² +bx+ c = 0
SiD á0, alors P (x a pas de racine.) n’
D
et
-b+
2a
-
2a
-b
SiD
SiD ñ0, alors il y a deux racines distinctes :
= 0, alors il y a une racine double :- 2ba
D
IV - Problèmes liés à des situations du 2° degré :
4.1.Le coût de production d’un produit est donné par la relation : C ( q ) = 2q² - 40q + 500 ( où q
représente la quantité produite.
Le prix de vente est donné par la relation : P ( q ) = 10q + 300.
Déterminez pour quelles valeurs de q, le prix de vente est égal au coût de production.
4.2. On effectue deux remises successives au même taux r , on obtient l’équation :
300r² + 600r 30,75 = 0
a - Calculez le taux r .
b Quel est le taux de la remise totale correspondant aux deux remises successives ?
4.3. Le bénéfice B réalisé par une société pour un nombre q d’articles produits est donné par la relation :
B ( q ) = - 28 000 + 350q 0,7q².
Déterminez q pour que B = 15 750 F ; B = 14 000 F .
