Exercice 1 Exercice 2
7
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
7
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Publié par
Langue
Français
- cours - matière potentielle : soit
- parcours developpeurs d'applications
- addi- tionner par colonnes
- linearite de l'esperance
- lois des variables aleatoires
- hh hhhx
- debut de l'examen exercice
- definition
- variable aleatoire
- fx
- exercices
- exercice
Publié par
Langue
Français
D´epartementInformatique ParcoursD´eveloppeursd’applicationsetcharge´d’affaires Controˆleterminaldulundi12De´cembrea`8h00(2h00)
Laqualit´eetlapr´ecisiondelar´edactionentrentpourunepartimportantedansl’appr´eciation des copies On appelle Solution Convenable toute suite finie d’affirmationsrrocetcetnemtsujifi´ees, tr`eslisiblement´ecrites,parfaitementre´dige´esetsansfauted’orthographe. Seuleslessolutionsconvenablessontnot´eespositivement. Sontautoris´es: – Uneseule feuille de notes de dimension maximale 21cm x 29,7 cm – Uneseule calculatrice –Lesr`eglesgradu´eespoursoulignerlestitresetr´esultatsimportants Lalangued’expressiondel’examenestleFran¸cais Vouspouvezsautezdesquestions,enlesadmettant,apr`esl’avoirclairementsignal´esur la copie.
De´butdel’examen
Exercice 1 Question de cours Soit{Ω,F,P}prceabobunpaes.S´eisiltoiX: Ω−→Rrurer´atoie.Poeelliravenue´laelba λ∈R,nodie`ocsnqireeularencfoontim´nu 2 ϕ(λ) =E(X−λ) D´emontrerqueleminimumdeϕest atteint enλ=E(Xteinneruneonndtee)oi.ntetapr´r
Exercice 2 Application directe du cours Soit{Ω,F,P}neuacspil´seetpeorabibX: Ω−→Rvraerri´aeebllleal´eautnoeietdesirce` defonctiondere´partitionFXpein:rafie´d 0 six <0 1 si 06x <1 2 FX(x) =si 16x <2 3 11 si 26x <3 12 1 six>3
1
1. Construirele graphe deFX 1 2. DonnerPX > 2 3. DonnerP({2< X64}) 4. DonnerP({X= 1})
Exercice 3 Laloideprobabilit´ed’uncoupledevariablesale´atoiresr´eelles(X;Y)estraele´peodnn tableau suivant : ❍ ❍Y ❍ 0 +1+2 ❍ X❍ ❍ -1a2a a +1 0a a 0 3a0a 1. Calculeza 2.De´terminerlaloimarginaledeXet deYpendnd´eancenfitidae´lei’oidn.Urlseliti pourde´cidersiXetYinntepd´daenesnt.os 2 2 3.Utiliserlesloismarginalespourd´etermierE(X),E(Y),σ(X),σ(Y) 4.D´eterminerlesloisdesvariablesal´eatoiresS=X+YetT=XY.SetTsont-elles ind´ependantes? 5. CalculerE(S)
Findel’examen
2
Corrige´del’examen
Exercice 1 Question de cours Soit{Ω,F,P}itSoe.s´libiaborpecapsenuX: Ω−→Rruo´eelle.Peatoirerailbae´lnuvera h i 2 λ∈Rioctumnneleronafnocn`diso,equri´eϕ(λ) =E(X−λ)miniuelemume´Dqrertnom deϕest atteint enλ=E(X)enetnndounernteirpreate´noit. h i 2 C’estunequestionquia´ete´d´emontre´eencours.Ilsuffitded´evelopperE(X−λ) . h i 2 2 2 E(X−λ) =EX−2λX+λ 2 2 =EX−2λE(X) +Eλ 2 2 Ceciestobtenuparlaline´arite´del’esp´erance.Or,Eλ=λ, et donc, 2 2 ϕ(λ) =λ−2λE(X) +EX −b ϕnr´eenocegeddmoˆnsudeunnclypoedostλqui est minimum enλ0= =E(X). Le minimum est 2a h i 2 2 donc :ϕ(E(X)) =E(X−E(X)) =σ(X) Onpeutdoncl’interpre´terendisant,qu’ausensdesmoindrescarre´s,c’estlaconstanteE(X) qui approche 2 lemieuxlavariableal´eatoireX, et que la varianceσ(X´d)irceispersiotbienladailbednlevaraX
Exercice 2 Application directe du cours Soit{Ω,F,P}nestpu´seeibilorabcapeX: Ω−→Ruavenbairalleat´ereoieer´lldesirce`eted fonctionder´epartitionFX´d:rapeinfie 0 six <0 1 si 06x <1 2 FX(xsi 1) =6x <2 3 11 si 26x <3 12 1 six>3 1.Construire le graphe deFX
FigurefaledehpargeL–1tioiner´epartonctiond
1
1 2.Donner PX > 2 1 1 Enpassanta`l’´eve´”nementcontraire,ilestconnuque:X >=X6, et donc : 2 2 1 11 1 PX >= 1−PX6= 1−FX= 2 22 2 3.Donner P({2< X64}) Encours,ilae´te´vuque:P({2< X64}) =FX(4)−FXdonc, ici,(2) ; 11 1 P({2< X64}) = 1−= 12 12 4.Donner P({X= 1}) Nous avons toujours :{X61}={X= 1} ∪ {X <1}, et doncP({X61}) =P({X= 1}) + P({X <1}`u)o’d, P({X61})−P({X <1}) =P({X= 1}) 2 11 CommeP({X61}et) =P({X <1}, nous obtenons que) =P({X= 1}) = 3 26 Exercice 3 Laloideprobabilite´d’uncoupledevariablesale´atoiresr´eelles(X;Y)raelestodnne´pe tableau suivant : ❍ Y ❍ ❍+20 +1 X❍ ❍ -1a2a a +1 0a a 0 3a0a 1.Calculeza X Il faut partir deP({X= 1;Y=j}) = 1. Donc, ici, nous devons avoir : 10a=eiradt`esc’1, i,j 1 a= 10 2. (a)deD´eterminrealolmiraiganelXet deY Pour trouver la loi deX, il suffit d’additionner par lignes, et pour trouver celle deY, d’addi-tionner par colonnes. – Ainsi,pourX, 2 P({X=−1}) =4a= 5 1 P({X= 1}) =2a= 5 2 P({X= 0}) =4a= 5 – EtpourY, 2 P({Y= 0}4) =a= 5 3 P({Y= 1}) =3a= 10 3 P({Y= 2}) =3a= 10 (b)liseUtiurd´ecidersidni’epe´nadnopecadrlfin´eioitelndXetYostnni´dpeneadtn.es Lesdeuxvariablesale´atoiresXetYst,eittrnusoepe,lueomtsntiusentinsoendad´epiet toutj, P({X=i;Y=j}) =P({X=i})×P({Y=j})
2
