Estimateurs au maximum de vraisemblance

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Chapitre 9 Estimateurs au maximum de vraisemblance Avec ce chapitre nous commenc¸ons l'etude de quelques outils centraux de la statistique. 9.1 Estimateur Definition : Soit n > 0 un entier. Nous appellerons n-echantillon d'une loi L toute suite X1, . . ., Xn de v.a. independantes de loi L. La statistique-pratique est un ensemble de techniques de traitement de donnees qui, face a la donnee de n nombres (ou plus generalement vecteurs) x1, . . ., xn produits par “echantillonage” - c'est-a-dire selon un protocole experimental propre au domaine considere (sociologie, controle de qualite, etc.) - choisit un n-echantillon au sens de la definition ci-dessus pour modele mathematique suggerant un traitement de ces donnees. Prenons l'exemple d'un referendum (ou d'un plebicite) ou les electeurs ne peuvent que repondre par “oui” ou “non” (les abstentions etant sans influence sur le resultat, ce qui exclut les cas ou il y a un quorum a atteindre). Choisissons n = 1000, et posons xi = 1 si la i-eme personne interrogee declare savoir ce qu'elle ira voter et vouloir voter “oui” (si elle declare ne pas savoir ou ne pas envisager de voter, on ecarte cette reponse de la presente analyse) et xi = 0 si elle declare vouloir voter “non”.

exemples distribution uniforme

methode du maximum de vraisemblance

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vraisemblance

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loi continue

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densite

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Chapitre 9

Estimateursaumaximumde vraisemblance

Aveccechapitrenouscommen¸consl’´etudedequelquesoutilscentrauxdelastatistique.

9.1 Estimateur

De´ﬁnition:Soitn >0 un entier. Nous appelleronsnoliu’enilntndlo-´haecLtoute suiteX1, .. .,Xn dev.a.inde´pendantesdeloiL. Lastatistique-pratiqueestunensembledetechniquesdetraitementdedonn´eesqui,facea`ladonne´e denserbmongsulpuo()setrueral´en´tvecemenx1, . . .,xn”-geesc’ilntnalo´“raahceudorpstipseleno-ta`d-ri unprotocoleexp´erimentalpropreaudomaineconside´r´e(sociologie,contrˆoledequalit´e,etc.)-choisitun nadelsdenioitﬁn´essed-icnomruopsuahtn´-ceansuliolteaintmeded`elemath´ematiqeuusgge´artnnurt cesdonne´es. Prenonsl’exempled’unre´fe´rendum(oud’unple´bicite)ou`lese´lecteursnepeuventquer´epondrepar “oui”ou“non”(lesabstentions´etantsansinﬂuencesurlere´sultat,cequiexclutlescasou`ilyaun quorum`aatteindre).Choisissonsn= 1000, et posonsxi= 1 si lai´gee´dcealerme`-epersonneinterro savoircequ’elleiravoteretvouloirvoter“oui”(siellede´clarenepassavoirounepasenvisagerdevoter, on´ecartecettere´ponsedelapr´esenteanalyse)etxi0sielled=uoolriove´lcrave.r“ten”no Cettesituationsimpleestg´en´eralementmod´elise´eparun1000-e´chantillonX1, .. .,X1000d’une loi de BernoulliB(1, pstues”eitniselem),etonconsid`qere’leunipoenoienstvefaduurui“op≥0.5. Onestalorsconfronte´auproble`me“d’estimer”lavaleurdepnoceisidomelle`d.nsDaliil)i(Bernoud´er´eic laloidesgrandsnombresvienta`notresecours:elleassurequelimn→+∞(X1+. . .+Xn)/n=E(X1) =p; on dit dans ce cas quepˆ := (X1+. . .+Xn)/nest unestimateurerte`duparamp; en pratique, on choisit ∗ alorsp=p:= (x1+. . .+x1000)/1000. Nousnousint´eresseronsicia`laequrietm´rapauetsqiatits,iolalu`oL=L(θtˆetrecatenuepeuer)-r act´erise´parunparam`etreθ, qui est un nombre ou un vecteur. Ainsi, par exemple, siXi❀B(1, p), alors θ=pest un nombre, mais siXi❀N(µ, σ), alorsθ= (µ, σ) est un vecteur, tout comme dans le cas d’un d´epipe´o`ul’onpeutchoisirθ= (p1, . . . , p5) (etp6= 1−(p1+. . .+p5)) etpk:=Pθ({Xi=k}). ˆ ˆˆ D´eﬁnition:On dit queθ: (x1, . . . , xn)7→θn:=θ(x1, . . . , xn) est unestimateurconvergeant versθsi ˆ et seulement si , en loi, on aθ= limn→+∞θ(X1, . . . , Xn) pour toute suite de v.a.Xid´inpeneadtnsed,e loiL(θ).

9.2 Vraisemblance 9.2.1Heuristiqueetde´ﬁnition Nousavonsvuquelaloidesgrandsnombresfournit“spontane´ment”unestimateurdel’espe´rance d’uneloi,maissil’onrechercheunem´ethodeunpeuge´ne´ralepourdevinerunestimateur,laudohed´mte maximum de vraissemblance.Eceoinvleciinprepic:caeﬃntveouesgi´etartsenutse ∗ ∗ Siune´chantillonageaproduitlasuiteﬁniex. .,, .xdeserembnocano’uqtedtisiohelismod´er 1n cette situation par unnnolahc´e-litnX1. .,, .Xnedolineadtnseina.epd´v.deL(θ), et si le choix de la 43

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