ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINEAIRES

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Algebre 2 ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINEAIRES 1. Definition et exemples d'espaces vectoriels 1.1. La structure d'espace vectoriel Definition. Soit K = R ou C. Un espace vectoriel sur K est un ensemble E muni de deux operation : l'addition et la multiplication scalaire E ? E ? E (~x, ~y) 7? ~x+ ~y K ? E ? E (?, ~x) 7? ?~x verifiant les proprietes suivantes : a) (E,+) est un groupe abelien i) ~y + ~x = ~x+ ~y (commutativite) ii) ~x+ (~y + ~z) = (~x+ ~y) + ~z (associativite) iii) ~x+~0 = ~0 + ~x = ~x (existence d'un element nul ~0) iv) ~x+ (?~x) = ~0 (existence d'un oppose ?~x) b) K opere dans E en respectant l'addition v) ?(~x+ ~y) = ?~x+ ?~y vi) (?+ µ)~x = ?~x+ µ~x vii) (?µ)~x = ?(µ~x) viii) ?~x = ~0 ? ? = 0 ou ~x = ~0 Les elements d'un espace vectoriel sont appeles des vecteurs.

droite du plan r2

decomposition en somme directe

plan de l'espace r3 contenant l'origine

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multiplication

Alg`ebre2 ´ ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINEAIRES

1.De´ﬁnitionetexemplesd’espacesvectoriels 1.1. La structure d’espace vectoriel De´ﬁnition.SoitK=RouC. Un espace vectoriel surKest un ensembleE munidedeuxop´eration:l’additionetlamultiplicationscalaire E×E→E K×E→E (y,~~x)7→~x+~y(λx,~)7→xλ~ ve´riﬁantlespropri´et´essuivantes: a)(E,+)seutgnb´eaupronieel i)y~+x~=x~+y~ummoc(vit´tatie) ii)~x+ (~y+z~) = (~x+y~) +z~itai´tiva(e)coss ~ ~~ iii)~x+ 0 = 0 +~x=x~entnulun´el´emtsneec’de(ix0) ~ iv)x~+ (−x~) = 0ppno’uedncteisex(soe´−~x) b)K`preosedanEen respectant l’addition v)λ(x~+y~) =λx~+y~λ vi)(λ+µ)~x=~xλ+~xµ vii)(λµ)x~=λ(x~µ) ~ ~ viii)λ~x= 0⇒λ= 0oux~= 0 Lese´l´ementsd’unespacevectorielsontappele´sdesvecteurs. Exemples d’espaces vectoriels n I K,K={(xi)i∈I, xi∈K}, (I) K={(xi)i∈I, xi∈K, xi= 0 sauf pour un nombre ﬁni dei} K[X] ={meˆoacs`pynolntieﬃcoesansdK} Kn[X] ={P∈K[X] :deg(P)≤n} C(I,R) ={f:I→Rcontinue} L’ensembledessolutionsdelarelationder´ecurrencelin´eaire un+2=un+1+ 2un L’ensembledessolutionsdusyste`mediﬀe´rentiellin´eaire  0 x= 2x−y 0 y=x−y

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