Equations differentielles et calcul variationnelle
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Chapitre 4 Equations differentielles et calcul variationnelle Introduction Les equations differentielles, au sens litteral les equations qui font intervenir une fonction (scalaire, ou vectorielle) et ses derivees jusqu'a un ordre n donne, soit (E) F (t, y, y?, · · · , y(n)) = 0 forment l'expression la plus courante des lois d'evolution de sytemes physiques. Ces sytemes sont materialises par la fonction t 7? y(t) ? Rm, le systeme depend de m parametres, et un parametre d'evolution, appele le temps. L'equation la plus simple est y?(t) = f(t) ou f(t) est supposee definie continue sur un intervalle I. Si t0 ? I, on sait que la seule solution qui prend la valeur C en t0 est yC(t) = C + ∫ t t0 f(u) du Cette equation est donc ”en theorie” completement resolue par une seule qua- drature (integrale). Caracteristique des des solutions : dans le plan (t, y) les graphes des courbes yC , si C varie, sont translates dans la direction de Oy de l'un d'eux, donc disjoints deux a deux. Plus generalement, soit un systeme a deux ”parametres” R(t) = (x(t), y(t)), les vecteurs R?(t) et R??(t) representent toujours la vitesse et l'acceleration du mouvement.
Voir
- condition initiale
- equations differentielles
- courbe integrale du champ
- bornes de l'intervalle de definition
- equation
- graphes des courbes yc
Chapitre 4
Equationsdiffe´rentielleset calcul variationnelle
Introduction Les´equationsdiffe´rentielles,ausenslitte´rallese´quationsquifontintervenir unefonction(scalaire,ouvectorielle)etsesde´riv´eesjusqu’a`unordren´e,donn soit (E)F(t, y, y0,∙ ∙ ∙, y(n)) = 0 formentl’expressionlapluscourantedesloisd’e´volutiondesyt`emesphysiques. Cessyt`emessontmat´erialise´sparlafonctiont7→y(t)∈Rm`tmesesyepdndee´,l demtr`e’´ednptuamarrte`e,sepmara.L’´equaeletemps,npaep´lvelotuoialnoit plus simple est y0(t) =f(t) ` ouf(tinnuteesuornutnilneiecrdv´aelfi´seepuopsest)I. Sit0∈I, on sait que la seule solution qui prend la valeurCent0est yC(t) =C+Zt0tf(u)du Cettee´quationestdonc”enth´eorie”comple`tementre´solueparuneseulequa-drature(inte´grale).Caract´eristiquedesdessolutions:dansleplan(t, y) les graphes des courbesyC, siCveiearidalsnaddnoitcerratton,sest´lansOyde l’und’eux,doncdisjointsdeux`adeux.Plusg´ene´ralement,soitunsyst`eme`a deux ”p `t es”R(t) = (x(t), y(t)), les vecteursR0(t) etR00(tttnnee´eserrp) arame r toujourslavitesseetl’acce´le´rationdumouvement.SiRpositionseneetalrpe´r d’une particule en mouvement, de massemceor`aseefuns,uoimF(x, y) = (X(x, y), Y(x, yebrc´elnala)),otwnoedeNleio ` mR00(t) =F⇐⇒(ymmx0000((tt)==)YX((xx((tt))y,y,((tt))))
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´ CHAPITRE 4. EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Fig.4.1 – Graphes des solutions dey0= cost.
Danscetexemplel’´equationestd’ordredeux.L’objectifestdetrouverde manie`reaussiexplicitequepossiblelaformedeR, la solution, ayantF.l’´qeauitno TrouverR, ouy(titau.not´egouin’´eqrerlefi´rgiinrd,eseuoniioatqu,sleiant)e´’lsnad Enge´ne´ralcelaneserapaspossible.Onrecherchera`ad´efautdesinformations qualitatives,et(ounum´eriques)surlasolutionesp´ere´e.Pourcelaunebatterie deme´thodesestconnue,recherched’inte´gralespremi`eres,ouloisdeconserva-tion.Classiquementl’´energietotaleE=Ep+Ec)estiquen´ete+cieillettn(op une telle quantit´ e. On notera qu’une solutiont→R(td´)infieenutruocapebram´etr´ee,dite courbeinte´grale. Leprincipedebasedelathe´oriedes´equationsdiff´erentielles,principe de Cauchyse,’uqtndioE)e(esunutolmenedte´setttolaeunefoistermin´eano’uq fixe´certainesconditionsinitiales(lavaleurdey(k)(t0),0≤k≤nen un temps initialt0ellerutalemmoc,squesade`snontiesleoa)C.optrvuer’intervallede tempsmaximaldede´finitiondecettesolution,etsoncomportementpourdes tempstr`esgrands,sil’intervalleestR, ou lorsque le temps s’approche des bornes del’intervalledede´finition.Danslasuiteonselimitera`al’ordreauplusdeux. 4.1 Equations du premier ordre D´efinitions Onfixelesd´efinitionspourlese´quations(E)dupremierordre.Bienque n’ayantenvuequedese´quationsdansR, ou bienR2, donc scalaire, ou dans leplan(syste`me),lade´finitiong´en´erale,i.edansRnnpesoobl`eme.epasdepr Soit d’abord le casscalaireC.nois´dncfoontionernesuf(t, y, zfie´dsein)urun domaineD⊂R3. D´efinition4.1.1.´’lednoitulosraprendrempcoitdoOntielleqeauitnoid´ffrene (t, y(t), y0(t)) = 0
4.1. EQUATIONS DU PREMIER ORDRE85 ladonne´ed’unefonctiony(t)de´finieetde´rivablesurunintervalleI⊂R, telle que pourt∈I, le point (t, y(t), y0(t)) soit dansD, et pour toutt∈I, on a f(t, y(t), y0(titausenot=0.Onditquel’´eq))ee´rulossi elle est de la forme y0(t) =f(t, y(t)). Dans ce cas de figure la fonctionfeslbseraaiuevxdtdersu´e,diefinD⊂R2. On parlera deDedesphasel’espace`em.seudystsmmoc Demanie`replusge´n´erale,unee´quation(re´solue)a`ncomposantes (on parle aussidesyste`med’ordrennfieiapurdnmoiaended´efinitiones)´etdD⊂Rn+1 (l’espace des phases) , une fonctionf:D→Rn, de composantesf1,∙ ∙ ∙, fn. Une solutiont7→y(t) = (y1(t),∙ ∙ ∙, yn(tenutse)noitcnofesniefid´urI⊂R, telle que∀t∈I,(t, y(t))∈D, et y0(t) =f(t, y(t). Onpeutmettreene´videncelescomposantes,soitlaformee´quivalente(syste`me ancomposantes) ` y10(t) =f1(t, y1(t)∙ ∙ ∙, y(t)) ,n ∙ ∙ ∙=∙ ∙ ∙ y0n(t) =fn(t, y1(t),∙ ∙ ∙, yn(t)) Unee´quationestditeautonomesi le second membre, la fonctionfnednd´epe pas du tempst, mais que dexeedalofmreestdoncnautonomuqe´oitaenU. x0(t) =f(y(t)). The´ore`medeCauchy(casscalaire) Dor´enavantonneconside`reraquedes´equationsscalaires du premier ordre re´solues y0=f(t, y). On parlera dey(t)ocmmde’unesolutiond´efiseinnuruetnilavrleI=]a, b[,−∞ ≤ a < b≤ ∞, et deIedescommed´dlaeletvrnoni.ontiniefi D´efinition4.1.2.Soitt0∈Isuppos´eunpointevtnxfie´s(uot0= 0). Soit y(t0) =y0, de sorte que (t0, y0)∈D. On appellera le couple (t0, y0) la condition initiale ent0. Interpr´etationge´ome´trique:Onutpeteinr´rpterealofcnitnof(t, y) commed´efinissantdansl’espacedesphasesunchamp de vecteursF(t, y), de composantes (1, f(t, y)). Imaginer au point (t, ytta)ecteur(1ach´elev, f(t, y)). Siy(tehposemargntuoidnel)etsnuseloon,onfor’´equatit7→(t, y(t)), qu’on regardecommeunecourbeparam´etr´ee.Levecteur tangenta cette courbe au ` pointdeparam`etretest exactement (1, f(t, y(t)). On dit que la courbe est une courbeintale´egrdu champ. Si on a affiare a une equation autonome, donc ` ´ y(t) =f(y(t)), la fonctionf:D→Rnrsdevecteuuscnahpmadsnecac´editfin surD, et une solutiony(tnc:.poDhcmaeludgeart´inbeurconetues)
