Equations differentielles et calcul variationnelle

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Chapitre 4 Equations differentielles et calcul variationnelle Introduction Les equations differentielles, au sens litteral les equations qui font intervenir une fonction (scalaire, ou vectorielle) et ses derivees jusqu'a un ordre n donne, soit (E) F (t, y, y?, · · · , y(n)) = 0 forment l'expression la plus courante des lois d'evolution de sytemes physiques. Ces sytemes sont materialises par la fonction t 7? y(t) ? Rm, le systeme depend de m parametres, et un parametre d'evolution, appele le temps. L'equation la plus simple est y?(t) = f(t) ou f(t) est supposee definie continue sur un intervalle I. Si t0 ? I, on sait que la seule solution qui prend la valeur C en t0 est yC(t) = C + ∫ t t0 f(u) du Cette equation est donc ”en theorie” completement resolue par une seule qua- drature (integrale). Caracteristique des des solutions : dans le plan (t, y) les graphes des courbes yC , si C varie, sont translates dans la direction de Oy de l'un d'eux, donc disjoints deux a deux. Plus generalement, soit un systeme a deux ”parametres” R(t) = (x(t), y(t)), les vecteurs R?(t) et R??(t) representent toujours la vitesse et l'acceleration du mouvement.

condition initiale

equations differentielles

courbe integrale du champ

bornes de l'intervalle de definition

equation

graphes des courbes yc

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Chapitre 4

Equationsdiﬀe´rentielleset calcul variationnelle

Introduction Les´equationsdiﬀe´rentielles,ausenslitte´rallese´quationsquifontintervenir unefonction(scalaire,ouvectorielle)etsesde´riv´eesjusqu’a`unordren´e,donn soit (E)F(t, y, y0,∙ ∙ ∙, y(n)) = 0 formentl’expressionlapluscourantedesloisd’e´volutiondesyt`emesphysiques. Cessyt`emessontmat´erialise´sparlafonctiont7→y(t)∈Rm`tmesesyepdndee´,l demtr`e’´ednptuamarrte`e,sepmara.L’´equaeletemps,npaep´lvelotuoialnoit plus simple est y0(t) =f(t) ` ouf(tinnuteesuornutnilneiecrdv´aelﬁ´seepuopsest)I. Sit0∈I, on sait que la seule solution qui prend la valeurCent0est yC(t) =C+Zt0tf(u)du Cettee´quationestdonc”enth´eorie”comple`tementre´solueparuneseulequa-drature(inte´grale).Caract´eristiquedesdessolutions:dansleplan(t, y) les graphes des courbesyC, siCveiearidalsnaddnoitcerratton,sest´lansOyde l’und’eux,doncdisjointsdeux`adeux.Plusg´ene´ralement,soitunsyst`eme`a deux ”p `t es”R(t) = (x(t), y(t)), les vecteursR0(t) etR00(tttnnee´eserrp) arame r toujourslavitesseetl’acce´le´rationdumouvement.SiRpositionseneetalrpe´r d’une particule en mouvement, de massemceor`aseefuns,uoimF(x, y) = (X(x, y), Y(x, yebrc´elnala)),otwnoedeNleio ` mR00(t) =F⇐⇒(ymmx0000((tt)==)YX((xx((tt))y,y,((tt))))

´ CHAPITRE 4. EQUATIONS DIFFERENTIELLES

Fig.4.1 – Graphes des solutions dey0= cost.

Danscetexemplel’´equationestd’ordredeux.L’objectifestdetrouverde manie`reaussiexplicitequepossiblelaformedeR, la solution, ayantF.l’´qeauitno TrouverR, ouy(titau.not´egouin’´eqrerleﬁ´rgiinrd,eseuoniioatqu,sleiant)e´’lsnad Enge´ne´ralcelaneserapaspossible.Onrecherchera`ad´efautdesinformations qualitatives,et(ounum´eriques)surlasolutionesp´ere´e.Pourcelaunebatterie deme´thodesestconnue,recherched’inte´gralespremi`eres,ouloisdeconserva-tion.Classiquementl’´energietotaleE=Ep+Ec)estiquen´ete+cieillettn(op une telle quantit´ e. On notera qu’une solutiont→R(td´)inﬁeenutruocapebram´etr´ee,dite courbeinte´grale. Leprincipedebasedelathe´oriedes´equationsdiﬀ´erentielles,principe de Cauchyse,’uqtndioE)e(esunutolmenedte´setttolaeunefoistermin´eano’uq ﬁxe´certainesconditionsinitiales(lavaleurdey(k)(t0),0≤k≤nen un temps initialt0ellerutalemmoc,squesade`snontiesleoa)C.optrvuer’intervallede tempsmaximaldede´ﬁnitiondecettesolution,etsoncomportementpourdes tempstr`esgrands,sil’intervalleestR, ou lorsque le temps s’approche des bornes del’intervalledede´ﬁnition.Danslasuiteonselimitera`al’ordreauplusdeux. 4.1 Equations du premier ordre D´eﬁnitions Onﬁxelesd´eﬁnitionspourlese´quations(E)dupremierordre.Bienque n’ayantenvuequedese´quationsdansR, ou bienR2, donc scalaire, ou dans leplan(syste`me),lade´ﬁnitiong´en´erale,i.edansRnnpesoobl`eme.epasdepr Soit d’abord le casscalaireC.nois´dncfoontionernesuf(t, y, zﬁe´dsein)urun domaineD⊂R3. D´eﬁnition4.1.1.´’lednoitulosraprendrempcoitdoOntielleqeauitnoid´ﬀrene (t, y(t), y0(t)) = 0

4.1. EQUATIONS DU PREMIER ORDRE85 ladonne´ed’unefonctiony(t)de´ﬁnieetde´rivablesurunintervalleI⊂R, telle que pourt∈I, le point (t, y(t), y0(t)) soit dansD, et pour toutt∈I, on a f(t, y(t), y0(titausenot=0.Onditquel’´eq))ee´rulossi elle est de la forme y0(t) =f(t, y(t)). Dans ce cas de ﬁgure la fonctionfeslbseraaiuevxdtdersu´e,dieﬁnD⊂R2. On parlera deDedesphasel’espace`em.seudystsmmoc Demanie`replusge´n´erale,unee´quation(re´solue)a`ncomposantes (on parle aussidesyste`med’ordrennﬁeiapurdnmoiaended´eﬁnitiones)´etdD⊂Rn+1 (l’espace des phases) , une fonctionf:D→Rn, de composantesf1,∙ ∙ ∙, fn. Une solutiont7→y(t) = (y1(t),∙ ∙ ∙, yn(tenutse)noitcnofesnieﬁd´urI⊂R, telle que∀t∈I,(t, y(t))∈D, et y0(t) =f(t, y(t). Onpeutmettreene´videncelescomposantes,soitlaformee´quivalente(syste`me ancomposantes) ` y10(t) =f1(t, y1(t)∙ ∙ ∙, y(t)) ,n ∙ ∙ ∙=∙ ∙ ∙ y0n(t) =fn(t, y1(t),∙ ∙ ∙, yn(t)) Unee´quationestditeautonomesi le second membre, la fonctionfnednd´epe pas du tempst, mais que dexeedalofmreestdoncnautonomuqe´oitaenU. x0(t) =f(y(t)). The´ore`medeCauchy(casscalaire) Dor´enavantonneconside`reraquedes´equationsscalaires du premier ordre re´solues y0=f(t, y). On parlera dey(t)ocmmde’unesolutiond´eﬁseinnuruetnilavrleI=]a, b[,−∞ ≤ a < b≤ ∞, et deIedescommed´dlaeletvrnoni.ontinieﬁ D´eﬁnition4.1.2.Soitt0∈Isuppos´eunpointevtnxﬁe´s(uot0= 0). Soit y(t0) =y0, de sorte que (t0, y0)∈D. On appellera le couple (t0, y0) la condition initiale ent0. Interpr´etationge´ome´trique:Onutpeteinr´rpterealofcnitnof(t, y) commed´eﬁnissantdansl’espacedesphasesunchamp de vecteursF(t, y), de composantes (1, f(t, y)). Imaginer au point (t, ytta)ecteur(1ach´elev, f(t, y)). Siy(tehposemargntuoidnel)etsnuseloon,onfor’´equatit7→(t, y(t)), qu’on regardecommeunecourbeparam´etr´ee.Levecteur tangenta cette courbe au ` pointdeparam`etretest exactement (1, f(t, y(t)). On dit que la courbe est une courbeintale´egrdu champ. Si on a aﬃare a une equation autonome, donc ` ´ y(t) =f(y(t)), la fonctionf:D→Rnrsdevecteuuscnahpmadsnecac´editﬁn surD, et une solutiony(tnc:.poDhcmaeludgeart´inbeurconetues)

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