Dispersive estimates in Rn n for the Schrodinger and the wave equations

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Simon Moulin

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01 avril 2008

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Dispersive estimates in Rn (n ≥ 2) for the Schrodinger and the wave equations Simon Moulin Nantes, Laboratoire de Mathematiques Jean Leray 11 avril 2008 - Orleans Simon Moulin (Nantes, LMJL) Dispersive estimates 11 avril 2008 - Orleans 1 / 43

hardy-littlewood- sobolev inequality

problem associated

dispersive estimates

sobolev embeddings

linear problems

schrodinger equation

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Dispersive estimates inRn(n≥2) fortheSchr¨odingerandthewaveequations

Simon Moulin

Nantes, Laboratoire de Mathe´ matiques Jean Leray

Simon Moulin (Nantes, LMJL)

11 avril 2008 - Orle´ ans

Dispersive estimates

11 avril 2008 - Orle´ ans

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Introduction

New results Wave equation (n≥3) Schro¨ dinger equation (n≥4) Dimensionn=2, high frequencies

Ideas of the proofs

Conclusion

Simon Moulin (Nantes, LMJL)

Dispersive estimates

11 avril 2008 - Orle´ ans

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Introduction

New results Wave equation (n≥3) Schr¨odingerequation(n≥4) Dimensionn=2, high frequencies

Ideas of the proofs

Conclusion

Simon Moulin (Nantes, LMJL)

Dispersive estimates

11avril2008-Orl´eans

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Goals

Plan of study for Cauchy problem associated to evolution problems.

To study the linear problem. To obtain a priori estimates for the linear problem. To study only some equations and to obtain a priori estimates for these equations. To search what properties could be generalized. To study non-linear problems by perturbative methods.

Simon Moulin (Nantes, LMJL)

Dispersive estimates

11avril2008-Orl´eans

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A priori estimates

Energy conservation. Dispersive estimates:Lxp(Rn)→Lxq(Rn). Strichartz estimates.

Strichatz estimates are a priori estimates, for example for one-order PDE:

L2x(Rn)→Lpt(0,t;Lqx(Rn)).

For two-order PDE 2, one have to have more regularity on initial conditions. Ingredients to obtain these estimates: dispersive estimates, T∗Targument, Sobolev embeddings (for example Hardy-Littlewood-Sobolev inequality).

Simon Moulin (Nantes, LMJL)

Dispersive estimates