DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALE R r DE LA FONCTION D'ONDE

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1 CHAPITRE V DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALE R(r) DE LA FONCTION D'ONDE Christian Ducauze et Hervé This 1 - L'ELECTRON DANS UN CHAMP A SYMETRIE SPHERIQUE L'énergie potentielle d'un électron dans un champ à symétrie sphérique s'exprime sous la forme : V (x,y,z) = V(r). De ce fait, l'hamiltonien est: 1 2 H V( r )= ? ∆+ , avec un laplacien 2 22 2 1 r r Mr r ∆ = ∂ + ∂ ? . L'équation de Schrödinger d'un tel système s'écrit alors : 1 2 ,m ,m ,m V( r ). E .? ? ?? ∆ + =l l l avec 21m m im,m cosR( r )sin d ( cos ) e ? ?? ? ?+= ?l ll Les fonctions ainsi que rf ( r ) ∂ commutent avec P et les opérateurs de moments cinétiques, en particulier les opérateurs de quantité de mouvement et de spin. Le laplacien∆ commute avec P , avec les opérateurs de moment d'impulsion et de moment de spin, mais pas avec et rf ( r ) ∂ Donc H commute avec les opérateurs de parité, de moment cinétique et de moment de spin. En conséquence, il existe un ensemble de fonctions propres communes à 2 2 etz z H ,P,M ,M ,S S sur lesquelles on peut construire un ensemble orthonormé de vecteurs de base pour l'espace de Hilbert

énergie d'interaction spin

orbite

electron

mouvement de l'électron unique de l'atome d'hydrogène

opérateurs de moments cinétiques

opérateurs de moment d'impulsion et de moment de spin

?? ??

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Français

Orbite Electrón



CHAPITRE V DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALER(r)DE LA FONCTION DONDE

Christian Ducauze et Hervé This

1 - LELECTRON DANS UN CHAMP A SYMETRIE SPHERIQUE Lénergie potentielle dun électron dans un champ à symétrie sphérique sexprime sous la

forme :V (x,y,z) = V(r).

De ce fait, lhamiltonien est:

1 H= −2∆ + )V ( r,

avec un laplacien∆ = ∂r2+2∂r−12 r r

2 .

Léquation de Schrödinger dun tel système sécrit alors :−12∆

avecl,m=R( r ) sinmθdclo+smθ(1−cos2θ)leim

l,m+ ).V ( rψl,m=E .ψl,m

 Les fonctionsf ( r )ainsi que∂rcommutent avecPet les opérateurs de moments cinétiques,

en particulier les opérateurs de quantité de mouvement et de spin.  Le laplacien∆commute avecP, avec les opérateurs de moment dimpulsion et de moment de spin, mais pas avecf ( r )et∂r

 DoncHcommute avec les opérateurs de parité, de moment cinétique et de moment de spin.

En conséquence, il existe un ensemble de fonctions propres communes       àH ,P,M2,Mz,S2etSzsur lesquelles on peut construire un ensemble orthonormé de vecteurs

de base pour lespace de Hilbert. La base complète est constituée de vecteurs

V=E ,l,m,m,ms étant le nombre quantique de spin, ce qui équivaut, dans la

représentation de Schrödinger, à un ensemble de fonctions de la forme



l,mαetψl,mβ.

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