cours trigonometrie doc
3
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
3
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
2-cours-trigonometrie.doc O M N ? TRIGONOMETRIE La trigonométrie dans le triangle rectangle est bien utile pour calculer des angles et des longueurs mais hélas, elle se limite aux angles aigus. De plus, les angles que nous avons manipulés jusqu'à maintenant ? appelés angles géométriques ? ne sont pas orientés ce qui pose un problème pour tous les phénomènes de rotation. Comment décrire par exemple, le mouvement d'une planète qui tourne sur son orbite ? Ce genre de questions a conduit les mathématiciens et physiciens à redéfinir et élargir la notion d'angle puis de sinus et de cosinus. C'est ce que nous allons aborder avec ce chapitre ! I) SINUS ET COSINUS DANS LE CERCLE TRIGONOMETRIQUE 1) Une nouvelle unité d'angle : le radian Le cercle ci-contre a pour rayon 1 : On l'appelle cercle trigonométrique. Complétons le tableau ci-dessous : Mesure de ? en degrés 0 30 45 60 90 180 360 Longueur de l'arc AM 2 Nous voyons donc que la longueur de l'arc AM permet de mesurer l'angle ?. Définition : La mesure d'un angle en radian est donc la longueur de l'arc qu'il intercepte dans le cercle trigonométrique. Pourquoi utiliser les radians plutôt que les degrés ? Car ils permettent de simplifier la plupart des formules et des calculs ou les angles interviennent ! Par exemple, dans le secteur angulaire de rayon R ci-dessous, on a : • MN = R ? • Aire = 1 2 R 2 ?
Voir
- cosinus dans le cercle trigonometrique
- sinus
- triangle ohm
- cercle trigonométrique
- trigonométrie dans le triangle rectangle
- nouvelle définition du sinus et du cosinus
- angle
2-cours-trigonometrie.doc TRIGONOMETRIE La trigonomtrie dans le triangle rectangle est bien utile pour calculer des angles et des longueurs mais hlas, elle se limite aux angles aigus. De plus, les angles que nous avons manipuls jusqu maintenant − appels angles gomtriques − ne sont pas orients ce qui pose un problme pour tous les phnomnes de rotation. Comment dcrire par exemple, le mouvement dune plante qui tourne sur son orbite ? Ce genre de questions a conduit les mathmaticiens et physiciens redfinir et largir la notion dangle puis de sinus et de cosinus. Cest ce que nous allons aborder avec ce chapitre ! I) SINUS ET COSINUS DANS LE CERCLE TRIGONOMETRIQUE 1) Une nouvelle unit dangle : le radian Le cercle ci-contre a pour rayon 1 : On lappelle cercle trigonomtrique. MCompltons le tableau ci-dessous : Mesure deαen degrs0 3045 60 90180 360 αO 2Longueur de larc AM A Nous voyons donc que la longueur de larc AM permet de "mesurer" langleα. Dfinition :La mesure dun angle en radian est donc la longueur de larc quil intercepte dans le cercle trigonomtrique. Pourquoi utiliser les radians plutt que les degrs ? Car ils permettent de simplifier la plupart des formules et des calculs ou les angles interviennent ! Par exemple, dans le secteur angulaire de rayonRci-dessous, on a : N •MN =Rαα1 O2 •Aire =Rα2 M2) Angles orients J Sur le cercle ci-contre, combien y a-t-il de points M tels que IOM =? 3 Pour placer M sans ambigut comme ci-contre, nous pouvons orienter cet angle et OI lcrire :(OI,OM) = −.(Ici nous avons tourn dans le sens indirect pour aller de I vers M)3 M
p117: 8, 9, 10, 11 p129: 82
2-cours-trigonometrie.doc 3) Les diffrentes mesures dun mme angle Imaginons que lon enroule une "ficelle gradue" autour du cercle /221trigonomtrique en partant du point I. Chaque longueurxde la ficelle M3va donc correspondre un point M du cercle et donc aussi un angle 0,Iorient (OI OM). O4Daprs ce qui prcde, on peut crire :(OI,OM) =xradians. Remarque : Pourquoi ne pas faire plusieurs tours autour du cercle ? Correspondant chaque point du cercle, il y aura alors autant de valeurs dexque de tours ! 2410 Plaons par exemple les points associs aux rels− , , J 33 3 On constate que ces trois rels sont associs au mme point et sont donc autant de mesures du mme angle orient (OI,OM) ! 24 − +2= 4 33 3 OI10On remarque de plus que 2 10 3 − +4= 3 3 2 3 alor -On voit donc que sik, s2kcorrespond toujours un nombre entier 2 Mde tours complets et le nombre− +2k seraencore une mesure de 3 langle orient(OI,OM) Bilan : •Tout angle orient a une infinit de mesures quivalentes :x,x+ 2,x− 2,x+ 4, …x+ 2k•Parmi toutes ces mesures, la mesure principale de l’angle est lunique mesure appartenant ]−;] 4) Sinus et cosinus dun angle quelconque JLe triangle OHM ci-contre tant rectangle en H, en dduire lesMcoordonnes du point M en fonction dex: xM= OH = 1yM= HM = Ia) Nouvelle dfinition du sinus et du cosinus :HOSoitle cercle trigonomtrique muni du repre (O ; OI ; OJ). xtant un rel quelconque, on appelle cosxet sinxles coordonnes du point M deassoci l’angle orient de mesurexb) Proprits : cosx Pour toutxde :sinx cosx+ sinx=
p128: 68, 70, 71, 64, 65, 66, 67, 72, 73, 74, 75 p129: 76, 77, 80
II) LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS 1) La fonction sinus :xsinx avecxPour toutxdesin (−, centr en 0,x) = En dduire la parit de la fonction sinus puis,sans calculatrice, complter ci-dessous sa reprsentation graphique sur [−; 0] Pour toutxde,xetx+ 2sont deux mesures du mme angle donc sin (x+ 2) = On dit alors que la fonction sinus est priodique de priode 2. Sans calculatrice, en dduire ci-dessous sa reprsentation graphique sur [; 3] 1
-
0,5
25 06 3 2 3 6
2
3
2) La fonction cosinus :xcosx avecxPour toutxde, centr en 0,cos (−x) = En dduire la parit de la fonction cosinus puis,sans calculatrice, complter ci-dessous sa reprsentation graphique sur [−; 0] Pour toutxde,xetx+ 2sont deux mesures du mme angle donc cos (x+ 2) = On dit alors que la fonction cosinus est priodique de priode 2. Sans calculatrice, en dduire ci-dessous sa reprsentation graphique sur [; 3] 1
-
0,5
25 06 3 2 3 6
2
3
2-cours-trigonometrie.doc
p129: 81, 84, 85, 86 p129:91
