Cours sur la division avec reste

Sivieude Valérie
Stéfanello Sandrine
Bon Christophe
G5
Thème N35

Séquence de CM1 : la division avec reste

Dans cette séquence, l’algorithme classique de la division euclidienne ne
sera pas abordé. C’est une séquence qui prépare à cette rencontre. Nous
nous limiterons à l’écriture euclidienne du type :
dividende=diviseur X quotient + reste

Types de tâches :
-Résoudre une situation de division sans connaître la technique de calcul
définitive.
-Réinvestir une procédure mise en place en classe.
-Encadrer un nombre par des multiples d’un autre.
-Résoudre une situation de division par des soustractions successives de
multiples du diviseur.
Prérequis :
-Connaître ses tables de multiplications.
-Connaître des ordres de grandeurs et les utiliser.

Etayage mis en place :
On privilégiera les techniques d’encadrements par des multiples du
diviseur, de soustractions successives des multiples du diviseur…


Difficultés :
Reconnaître une situation de division (vue en CE2).
Utilisations de grands nombres (mais pourtant indispensable pour éviter
les calculs de tête).







Séquence :
Organisation didactique



Séance 1

I_ Moment de la première rencontre :
Phase de dévolution d’un problème
Exploration collective d’une situation : « Pour la Sainte Barbe, on a récolté 5940 graines
de blé. On souhaite les répartir en sachets de 24 pour les vendre. »
Les élèves trouveront des questions du type :
« Pourra-t-on toutes les répartir ainsi ? Si oui combien pourrons-nous réaliser de sachets,
sinon combien de graines restera-t-il ? »

II_ Exploration de la tâche, élaboration d’une technique :

Répartition des élèves en groupes de 3 à 4.Chaque groupe dispose d’une affiche pour
présenter sa procédure et ses résultats.
Durée :environ 15 minutes.
ère1 mise en commun éventuelle si problème au bout de 5minutes en leur expliquant qu’ils
trouveront la solution en s’aidant des opérations qu’ils connaissent déjà
ème2 mise en commun : les différents groupes ont désigné un rapporteur qui passe au tableau
avec son affiche et explique leur démarche.

Les différentes techniques pouvant être rencontrées :
* soustractions réitérées :5940-24=5916 1 sachet
5916-24=58921 sachet…puis comptabilisation des sachets
* additions réitérées : 24+24=48 2 sachets
+48=96 4 sachets…idem
* tâtonnements utilisant des multiples de 24 :
24x50=1200 trop petit
24x100=2400 trop petit
24x300=7200 trop grand

24x250=6000 trop grand
24x240=5760 trop petit
24x245=5880 trop petit
24x247=5928 il reste 12 graines
* méthodes mixtes associant les procédures additives et multiplicatives ou
soustractives et multiplicatives
…
Donc au total on trouvera que : 5940=(24x247)+12






III_Environnement technologique :
Mise en commun des résultats et des techniques utilisées par chaque groupe.
Discussion collective sur l’aspect pratique des solutions proposées. On privilégiera
alors les procédures les plus performantes.
Cette discussion intégrera que 2 multiples successifs d’un entier ont pour
différence cet entier.(ex ; 6*4<25<7*4 24<25<28et 28-24=4)
De plus, quand on encadre un nombre entre deux multiples successifs, la
« distance » qui le sépare de celui qui précède est forcément inférieure au nombre n
utilisé (ex : 305*4 < 1223 <306*4 1220 < 1223 <1224 et 1223-1220=3<4).


Séance 2

IV_Travail de la technique :

technique travaillée :utilisation de l’encadrement d’un nombre a pour aboutir à une
écriture euclidienne de celui-ci du type : a=bx+y
TECHNIQUE :
A partir du diviseur fourni on cherche des multiples de celui-ci qui vont permettre
d’approcher le dividende , en prenant en compte ceci :

Nxb< a < Nx(b+1)

a-(Nxb)<a

(Nxc)-a<a

Travail de la technique opératoire hors de tout contexte, sur l’ardoise :
Demander d’encadrer différents nombres avec 2 multiples successifs et de trouver le
reste (ex : encadrer 329 avec des multiples successifs de 3 et trouver le reste).

Exercice 1 :
Monsieur Louis va à la banque pour retirer 193 euros. Il demande au caissier de lui
donner le maximum de billets de 5 et le reste en pièces de 1 euro.
Combien aura-t-il de billets et de pièces de la sorte ?

Exercice 2 :
Un agriculteur a récolté 746 melons qu’il range par cagette de 21.
Combien de cagettes pourra-t-il remplir intégralement ?
Lui restera-t-il des melons isolés ?si oui, combien ?


Séance 3

V Institutionnalisation :

En revenant sur l’exercice des graines de blé, on écrira dans le cahier :
« Avec nos 5940 graines, on pourra remplir 247 sachets de 24 graines et il nous en
restera 12. On a effectué la division de 5940 par 24.

5940 s’appelle le dividende
24 s’appelle le diviseur
247 s’appelle le quotient
12 s’appelle le reste. Il est toujours plus petit que le diviseur.

Exercice de renforcement pour les notions :
dividende 5940 428 1020 1713
diviseur 24 36 42 9
quotient 247 38 29
reste 12 0 5



Séance4


Séance d’entraînement avec : résolution de problème et exercice.

1- Résolution de problème :

Le budget de l’OM est de 5 204 540 euros pour un mois . L’équipe professionnelle est
constituée de 17 joueurs. Combien chaque joueur gagne-t-il d’argent par mois ? Et restera
t-il de l’argent en plus ?

2- Exercices

Encadre les nombres suivants avec les multiples donnés .Il faut écrire les solutions avec
la forme euclidienne .
Exemple :
4x13 < 55 < 4x14 forme euclidienne : 55=4x13+3

6x…..< 127 < 6x……
8x….< 714 < 8x…….
9x…..<1253 < 9x……
11x < 1378 < 11x……
7x < 12 326 < 7x……
42x < 24 567 < 42x…


Séance 5

C’est une séance d’entraînement à l’utilisation de la calculatrice.

EXERCICE 1 :
-Divise les nombres suivants avec la calculatrice :

12 742 / 9
21 937 / 4


remarque :
On précisera la notion suivante :
Dividende/ diviseur = quotient à virgule

Donc :
Diviseur x quotient = N
Dividende-N = reste


EXERCICE 2 :

A partir des nombres suivants, trouve des multiples du diviseur pour s’approcher du
dividende ( avec la calculatrice) et ajoute le reste éventuel.


12 562 = 18 x …..+……

152 457 = 23 x …..+…….

1 868 = 15 x……+……







Séance6

VI Evaluation :

Exercice 1 :
L’école Henri Matisse organise un relais à travers la ville. Est-il possible de répartir les
389 élèves en équipes de 12 ?Restera-il des élèves ?Si oui, combien ?
Exercice 2 :
Une ferme a produit 1500L de lait. Peut-on répartir tout ce lait dans des bidons de 7L ?
Restera-t-il du lait ? Si oui, combien de litres ?












Séances division au cycle 3 ( CM1)


Séance 1 : première rencontre-élaboration d’une technique.

1) type de tâche

*Résoudre un problème de partage
*essayer de mettre en place une technique

2) matériel

*une affiche par groupe
*un feutre par groupe

3) déroulement


a- la dévolution du problème par les élèves ( 10 minutes) de façon
collective.

Exercice : « pour la sainte Barbe….. » cf progression ci-dessus.



b- travail en groupe ( 3 à 4 élèves)

_Consigne : « vous allez résoudre ce problème. Vous pouvez le faire grâce aux
opérations que vous connaissez. »