Cours de Probabilités (Maıtrise de Mathématiques de l'ULP)
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Cours de Probabilités (Maıtrise de Mathématiques de l'ULP)
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CoursdeProbabilite´s (MaıˆtrisedeMathe´matiquesdel’U.L.P.)
J. FRANCHI
Deuxi`emesemestre2004-2005.56heures,dontlamoitie´enT.D.
Contenu
I. Vecteurs Gaussiens 1)Vecteursale´atoires 2)Variablesre´ellesgaussiennes(rappels) 3) Variables gaussiennes vectorielles II. Marches aleatoires surZd ´ 1)Marchesal´eatoiresettempsd’arrˆet 2) Temps de retour en 0 3)R´ecurrencedesmarchesale´atoiressimples 4)R´ecurrencedesautresmarchesale´atoires 5) Retour en 0 et loi de l’Arcsinus pour la marche simple surZ III.ChaıˆnesdeMarkov 1)Laproprie´t´edeMarkov 2)Classificationdes´etats 3)Mesuresinvariantesdeschaıˆnesfinies 4)Probabilit´einvariante 5)Ergodicit´e IV.Martingalesa`tempsdiscret 1)Surmartingales,sousmartingales,th´eore`med’arrˆet 2)Ine´galites ´ 3) Convergence V. Processus de Poisson 1)ProcessusdePoissonhomoge`nesendimension1 2) Autres processus de Poisson VI. Files d’attente 1)Files`aunserveur 2) FilesGp/Gq/1 3) FilesGp/FS/1
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1 Vecteurs Gaussiens 1.1Vecteursale´atoires Onappellevecteurale´atoiretoutev.a.a`valeursdansIRd. On dit qu’il est dansLplorsque sa norme l’est (pour toutp∈[1,∞]). Exercice no´ira1V)eualefiqrnitid´efi-desoncie´densusdsapdnepmeoranele.sioich1.1. e b)Montrerqu’unvecteurale´atoireestdansLpleelquteormp’ised(nansroodnne´ssisesco . base) sont dansLp On´etendparlin´earite´lade´finitiondel’esp´erancepourlesvariablesr´eellesint´egrables auxvecteursale´atoiresinte´grables.Ainsi,dansn’importequellebase,l’esp´eranced’un vecteural´eatoireinte´grableVerancesdslesesp´seanayurteecevtlesee´nnodroocruopt coordonne´esdeV. D´efinition1naOcirtcedeleppamele´larueteriotaaicnvoraedid(euosionspernvec)d’u Vdeir´arecabgr´enteli(e.d.nasL2) la matriceKV:=IE(V−IE(V))×t(V−IE(V)), ou`lesvecteurssontconsid´ere´scommedescolonnesettVe´edpssortnaneleesigd´V. Exercice noeuire´qrefi1.1.)V2aKV=IE(V×tV)−IE(V)×tIE(V) = ((Cov(Vi, Vj)))i,j. b)Ve´rifierquepourtoutu∈IRdon aV ar(tuV) =tuKVu=P1≤i,j≤duiujCov(Vi, Vj) . c) Montrer queKVsitive.cisemye´rtqieuopesnetutrma d) Montrer queKVest inversible ssi il n’existe pas d’hyperplan deIRdcontenant p.s.V. e) SoitMune matrice deMn,d(IR). CalculerIE(M V) etKM VuqemeˆM.opnoitseruAV, siAest une application affine deIRddansIRn.
1.2Variablesre´ellesgaussiennes(rappels) De´finition2usgaensicener´nt´reeiudeuoetUnetedisteelleer´reiotae´laelbairav normalecentr´eer´eduiteougaussiennestandardlorsqu’elleadmetladensit´e: t−→7exp(−t2/2)/√2πrerlleee´laiotaeU.enbaelavirXest dite gaussienne ou normale ´ lorsqu’il existem∈IRetσ >0tels que(X−m)/σenecalrmnoitso.enOudtiree´rte´dit alors que la loi deXestN(m, σ2). Exercice noa1V).1.2rqfieri´euem=IE(X) etσ2=V ar(X et que) ,X∈ ∩p<∞Lp. b)V´erifierque(AA22e+−x12)/x2≤Rx∞e−t2/ e−x2/2sur [A 2dt≤x,∞[ , pour toutA > un0. Donner ´equivalentdeIP(X > x) en +∞. c)Montrerqueladensit´edeXestt−7→exp(−(t−m)2/2σ2)/σ√2π. d)Montrerquelatransform´eedeFourierdeXstepee´nnodraIE(eitX) =eitm−σ2t2/2, et 2
quecelacaract´eriselaloideX. e)Montrerquetoutecombinaisonline´aire(nontriviale)dev.a.normalesind´ependantes estnormale.Donneruncontrexemplesimples’iln’yapasind´ependance. Exercice no1.2.2 Notons{Xn|n∈IN∗}edet.a.vni.rpe´ddaenesntusgaensiensunesui n standard. Etudier la convergence en loi deX1+(n−1)√X2+..+Xn. n n
1.3 Variables gaussiennes vectorielles D´efinition3Unarevotaeerilbai´laeVssdanleur`avaIRdest dite gaussienne ou normale lorsque pour toutu∈IRd tuV ou p.s. constante.est une v.a.r. normale On noteN(m, K)laloid’unvecteurceanneissuagre´pse’dmet de matrice de covariance Kl.aol(ierpslleestlalorsqu’eissuenneidtsagetitns)e´e.uspdenebabieproe(relit´.nU densite´)d’unvecteurgaussien. Exercice noisqreurifie)V´e3.1a1.Vest un vecteur gaussien deIRdet siAest une application affine deIRddansIRn, alorsAVest un vecteur gaussien. b) Montrer que siVansneesdonn´oordeluqleroeti’pmsevnutetceagrusius,aenrsloscse base sont gaussiennes (ou p.s. constantes). c) SoientXgaussienne standard, etεndpeteani´endedXet uniforme sur±1. Montrer queεXest gaussiennne standard, mais que le vecteur (X, εX) n’est pas gaussien. d)Montrerquesilevecteurale´atoireV,setnadneped´inetesnniessausescoordonn´eesga alors il est gaussien. e)Montrerquelatransforme´edeFourierd’unvecteurgaussienVradonn´eepest IE(eituV) = expituIE(V)−12tuKVu tout, pouru∈IRdrace´tcauqtelle’.oiiserales, f)Montrerquelescoordonn´ees(danslabasecanoniquedeIRd) d’un vecteur gaussien sontind´ependantesssilamatricedecovarianceestdiagonale,etdoncssiellessontnon corre´le´es.Ve´rifierquec’estfauxsilevecteurn’estpasgaussien(meˆmesisescoordonne´es sont gaussiennes).
Lemme 1SoitKunetaofmr,eedivitosepqurietm´ysellee´recirtamd×det de rang r∈ {0, .., d}. Alors 1)Ilexisteunematricere´ellesym´etriquepositiveSde formatd×dtelle queK=S2. 2)Ilexisteunematricer´eelleMde formatd×ret de rangrtelle queK=M×tM. Preuve Il existe une matrice orthogonalePet une matrice diagonale positiveDtelles queK=P DP−1.S:=P√DP−1 les vecteurs Permutantfournit une solution pour 1). propres deKhogonalec,vireuieqhaact`enamedregntroecirtP,onsera`mneaecusa`ou lesrpremiers coefficients diagonaux deDsont>stΔesirslo.Alsnusertuaselte0ele´ag a`lamatriceform´eedesrpremnnoledsere`iocse√Dustatˆsi,ooinvtouqeM:=PΔ est solution de 2) :Kij=Pkd=0pikdkpjk=Pkr=0pik√dkpjk√dk= (MtM)ij.
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Celemmepermetd’exhiberunvecteurgaussienayantuneespe´ranceetunematricede covariancedonne´esa`l’avance.Ler´esultatpr´ecisestlesuivant. Proposition 1SoitKllee´recirtamenuposiique´etresymtroamd,feitevd×det de rangr, et soitMrecilee´enurtamatledeformd×rtelle queK=M×tM. Soitm∈IRd. SoitVun vecteur deIRrlorsseA.adtnpeneni´danstrddaiessesnnee´nuagsoocenodrform´ed m+M Vest un vecteur gaussien de loiN(m, K).
Corollaire 1Si la matrice de covariance d’un vecteur gaussiend-dimensionnel de loi N(m, K)rusetlmeadurt´sienadlarolb,eceetcsveesersitinvIRd: v→−7(2π)−d/2(det K)−1/2exp−12t(v−m)K−1(v−m).
Preuve SoitVun vecteur deIRdddnrafoe´nnodroocede´mrtassneensiusgaes inde´pendantes.SoitMmatruneericel´edelermfotad×dtelle queK=M×tM. Alors Minversible, et nous avons pour toute fonction-testest f, par changement de variable : IE(f(m+M V)) =Zf(m+M x)Yd(2π)−1/2e−x2j/2dx−d/2e−txx/2dx IRdj=1=ZIRdf(m+M x) (2π) =ZIRdf(v) (2π)−d/2e−t(M−1(v−m))×(M−1(v−m))/2|det(M−1)|dv 1 =ZIRdf(v) (2π)−d/2(det K)−1/2exp−2t(v−m)K−1(v−m)dv . Exercice no1.3.2 SoitVun vecteur gaussiend-dimensionnel, et pour 1≤j≤ksoientMj unematricer´eelledeformatdj×detVj:=MjV que. MontrerVietVjdne´noitsantspend ssiMiKV tMjrensila0=e´G.epd´daen`aerinl’cndeeV1, .., Vk. ´ Exercice no1.3.3 Soit{Xj|j∈IN∗}une suite de v.a.i.i.d.N(0,1). Soit{aj|j∈IN} unesuitedere´elstelsqueajaj+1= 0 pour toutjet tels quePja2j<∞. SoitYn:= Pnj=1an−jXj, pour toutn∈IN∗. a) Etudier la convergence en loi de la suiteYn Les. b) v.a.YnetYn+1sont-elles independantes ? c) Etudier la convergence dansL2de la suiteYn. ´ Exercice no1.3.4 SoitV:= (V0, ..Vd) un vecteur gaussien (d dont les+ 1)-dimensionnel, coordonnees sontN(0,irefivte´1e)nt:Cov(V0, Vj) =ppour 1≤j≤detCov(Vi, Vj) =p2 ´ pour 1≤i6=j≤d,pe`ma.ertosoPsnet´tuanarnpWj:= (1−p2)−1/2(Vj−pV0) pour 1≤j≤d.´D(:ltnemeviedsiolsenemieretssceucrsV0, W1, .., Wd) ;S:=Pdj=1Vj;S/V0. ¯ Exercice no1.3.5 Soit{Xj|1≤j≤n}une suite de v.a.r.i.i.d.N(m, σ2). SoientX:= ¯ ¯ (X1+..+Xn)/n,X0j:=Xj−X, etS:= ((X01)2+..+ (X0n)2)/σ2idelaloP.resice´rX, ¯ ¯ de (X, X01, .., Xn0 montrer que) ,XetSntrerquelaloidestione´dndnepetnaoM.sSest unχ2 une b.o.n.. (UtiliserBde l’hyperplanPjx0junene´ee´lteocpmn.deb.o.0,=IRn.) Voicilaversionvectorielleduth´eor`emelimitecentral. 4
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