Cours de Mathématiques LSI1-TS : Algèbre

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S. Balac , Enssat Lannion

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S.laBaENc,TASSnnaLCnoisruo

Algèbre et Analyse Cours de Mathématiques de Première Année avec Exercices Corrigés Stéphane Balac, Frédéric Sturm Presses Polytechniques et Universitaires Romandes Collection Sciences Appliquées de l'INSA de Lyon -1046 pages- 2003

Ce document n'est pas un cours de mathématiques. On sera attentif au fait que les résultats sont donnés sans justication et que les exemples ne sont pas détaillés. Pour tout complément, nous renvoyons le lecteur à l'ouvrage suivant (dans lequel il trouvera une présentation détaillée des résultats cités ici, de nombreux exemples et mises en garde, ainsi que des exercices corrigés) :

Avertissement

euLstaqihtméedaMre

Structure d'espace vectoriel Indépendance linéaire Somme de sous-espaces vectoriels

lgèbTS:ASI1-

Balac,

ENSSAT

Somme

Lannion

Structure d'espace vectoriel Indépendance linéaire de sous-espaces vectoriels

ESPACES

VECTORIELS

Cours de Mathématiques LSI1-TS

Algèbre

aisombinv.Cod'e.ceetdeveaérilnnisoderetuuctrsSurirotcevecapse-suoidnu'enéDntiritoPrelacspecevmexeselpicnixuapal,c.SaBATLaENSSnCounniohtaMedsreuqitaméTS1-SIsLreèblg:AleoSsue-pscavecetorielengendrépasedrtcevsrue

1.Structure d'espace vectoriel

Structure d'espace vectoriel Indépendance linéaire Somme de sous-espaces vectoriels

1-TS:AlgiquesLSIbèer

Structure d'espace vectoriel Indépendance linéaire Somme de sous-espaces vectoriels

1.1.Dénition d'un espace vectoriel

ionnLaATSSENc,lataméhtaMedsruoCn.SaBlerPotirvecepsca'uneiondnitDé-eusSoelecevacspcapse-suirotcevevectrdeseursleneotirérapegdne.d'Cov.inmbsoaiicnixuapmexeselpursStructuredesolnniaérideveceet

lAègrbe

On considère : un corps commutatifK(RouC) muni des opérations+K et×K, un ensembleEmuni d'une addition (notée «+») et d'une multiplication par un scalaire (notée «»).

matiquesLSI1-TS:Suctrecaptceverutse'dselp.e'doC.vnibmsoaiinnliréaevedu'enpscaveceotirelPrincipauxexempse-suostcevsecaDélsieorndioitnIldnroeiadcnpéneéairelinmedeeSomctverseuparéesrdegdnleneotirvecespacus-eelSotoricevecapse-suosedretuuctrsSurteecnionCoursdeMathéB.lacaE,SNASLTnaS

us-espacommedesoniaériSeneadcnlespneevacioit'undsleinéDevserotce.v.esd'empluxexicaprPniirleceottrsSurteecevediraénilnosianibmoCrotcevecpédnIleituuctrSpaesd'reSSATc,ENBalaS.tuucdereussosp-evecaotceleirsuoS-espacevectorielneegdnérapdrseevrseuctèblg:ATS

Dénition 1 Unespace vectorielEsurK(ouK-e.v.) est un triplet(E+) tel que 1(E+) ;est un groupe commutatif 2et∀(xy)∈E2,∀α β∈K:

α(x+y) =αx+αy (α+Kβ)x=αx+βx α(βx) = (α×Kβ)x 1Kx=x

retaqihtméIS-1euLsionCLanndeMaours

SATLannionCoursdSB.lacaE,SN-TI1AlS:brgè

Remarques

Les éléments deEsont appelésvecteurs. Les éléments deKsont appelésscalaires.

etaMeaméhuqitSLseevtcroei-sseapecorielSoupacevectetcesruarépsvdengledrenapecnuseno'dinitnciplPriorievectapse-suosedemmoSésDelritoecsvcetcuesrtSiaeredevesous-esructureddselv.e'exuapmexonisnéliom.CnabiacevectorielIndéepdnnaeciléniaertStcurderupse'

1.2.Principaux exemples d'e.v.

Structure d'espace vectoriel Indépendance linéaire Somme de sous-espaces vectoriels

glbèSTA:IS-1uesLatiqthémdeMauetcevsesr.S,cNEaBalLannSSAToursionCrtSsutcuedersuossp-eevactoecelrioSsue-pscaveceotrielengendrépardinPrelritoecevac'dselpmexexuapicsonlinaiCombe.v.etruvecerideniaédnu'enpséDntioi

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