Cours d'introduction aux mathématiques générales

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Universit´eParis8 U.F.R. L.I.T.

Introductionauxmathsg´en´erales—B.Mariou Automne 2004

Coursd’introductionauxmathe´matiquesge´ne´rales premi`erepartie

0Lireet´ecriredesmathe´matiques2 —Lesphrases2—Lesparagraphes4—D´emontrer6 1 Ensembles et applications8 ´ —Lathe´orieaxiomatiquedesensembles8—El´ementsdeth´eoriena¨ıvedesensembles9—Applications11 2 Les entiers naturels14 — L’ensembleINet la recurrence 14 — Ensembles ﬁnis 15 ´ 3Arithm´etique18 —Divisibilit´eetdivisioneuclidienne18—Plusgrandcommundiviseur19—Th´eore`medeBezout20—Nombres premiers 22 4Structuresalg´ebriquesge´ne´rales24 — Relations binaires et lois internes 24 — Groupes 25 — Anneaux et corps 27 5Lecorpsdesre´els29 —Sesele´ments,sesope´rations,sonordre,sacomple´tude29—Propri´ete´d’Archim`ede,rationnelsdansIR30 — ´ Intervallesre´els31

Benoˆıt Mariou — octobre 2004 — documents disponibles surf./rir8samhtil-tufr6p://v-pa.unitthlmthat/m/BhscoM/s.ur

Chapitre0.Lireet´ecriredesmath´ematiques

´ ´ 0 — LIRE ET ECRIRE DES MATHEMATIQUES Uncoursdemathe´matiquesestundiscoursdansunelangueparticuli`ere.Cettelangueestprochedelalangue naturelle mais elle comporte aussi une partie purement symbolique. Qu’ilviennedulangagecourantouqu’ilsoitsymbolique,untermedudiscoursmathe´matiqueatoujoursunsens pr´ecisetsonutilisationestcodiﬁe´e. Voiciquelquesunesdesre`gleslesplususit´ees.Leurconnaissancevouspermettra,d’aborddelirecorrectement chacunedesphrasesd’untextemathe´matique(§editsuenepsrouev,)1maˆıenenantltrisdrnae´erxeetlstea structure (§nement(unraisonurcoisndsumeˆesm’detpmoctnadners2),eveuoudripeorﬁndn§3).

1 Les phrases. Dansuntextemath´ematique,laplupartdesphrasesconcernentdesobjetsoudesproprie´te´smathe´matiques. •Certaines de cesphrasessont volontairementecrites en langue naturelleaﬁn de commenter, introduire, ´ reformuler des notions purement techniques. Ici, on ne s’attarde pas sur ce type de phrases ; mais il faut bien garder`al’espritquecettepartienonsymboliquedudiscoursapourbutd’aideecterlela`rupmocdneraler partie symbolique. •Lesphrases techniqueseneddsrueemfpxlniostsceonitg´en´eralementusunsanivs:te 1.(de´ﬁnition/notation)Nommeroud´eﬁnirunobjetouunepropri´et´e. 2.(assertion)Aﬃrmerqu’unepropri´ete´estvraie. Exemples. 1)D´eﬁnitions/Notations. a)”Pourxalee,ler´ronbmvaleur absoluedexest le plus grand des deux nombresxet−x.” Cettephrasede´ﬁnitlanotiondevaleur absolueldur´eex. b)”Un entier estpairs’il est divisible par 2.” Cettephrased´eﬁnitlapropri´ete´rtieaeprˆ””pour les entiers. c)”Posonsa=R01et2dt.” d)”NotonsIl’intervalle[0,1].” e)”Sixutse,el´eerbromnn|x|elrualavgien´dseeluedabsox.” Cestroisderni`eresphrasesintroduisentdesnotations:nouvellesrepre´sentationssymboliquesd’objets/pro-pri´ete´sde´j`ade´ﬁnis. f)”Soitxnu”tif.posiemtncietslrt´ree Iciencore,ils’agitd’unenotation:onsaitqu’ilexistedesre´elsstrictementpositifs,onenconside`reun,on le nommex. Danstouslescas,lesde´ﬁnitions/notationspeuventˆetree´vite´es:cesontdesraccourcispermettantdenommer bri`evementdesconceptscomplexes. 2) Assertions. a)”Le nombre277−2est entier.” b)”mbreunnoisteIlexeimepusritnerpreari´er`eu2100.” c)tuonbmer”oPruotr´eelxtel quex2>2, on ax >1.” d)”Pour tout entiern,nest pair si et seulement sin2est multiple de 4.” Lesassertions(oupropositions)sontdesphrasessusceptiblesd’eˆtrevraiesoufausses.Eng´en´eral,onn’´ecrit

Chapitre0.Lireete´criredesmath´ematiques

quedesassertionsvraies.Toutletravailmathe´matiqueconsiste`ajustiﬁercetteve´rite´,i.e.nequ’urertnoma` certaine assertion est vraie.

Vocabulaire particulier.ressionsieursexpirtsqieuacartce´uvansulpOseocsiduds´htamsruueiqatemintaer.C sontspe´ciﬁquesauxd´eﬁnitions/notations:soit,notons,posons,on dit que,on appelle,d´esigne, . . .

Structure des assertions.ˆtneertesulpmoouscinplomesexLesassertionsatniC.retnseosbasiques peuv comme :”nest pair”n,ee´toA(nraurpo)(querelpppendde’elled´en) ; ”n2est multiple de 4”ee,t´noB(n). D’autres sont obtenues encoordonnantassertions plus simples , par exemple :des C(n): ”sinest pair alorsn2est multiple de 4”, qui est de la forme”siA(n)alorsB(n)”. D’autres,enﬁn,peuventeˆtreobtenuesenquantiﬁantdes assertions plus simples, par exemple : D tout entier: ”Pourn, sinest pair alorsn2est multiple de 4”, qui est de la forme”Pour tout entiern,C(n)”.

Coordinations et quantiﬁcations.Les principales coordinations sontet,ou, . . alorssi .. . . ,si et seulement si. Les quantiﬁcations sontil existe . . .et . .pour tout .entlsouv`erensida.En,nﬁcoonnoagitne´d’une assertion. Dans ce qui suit,AetBsont deux assertions. •AetBvraiesi les deux,AetB, sont vraies, faussesi au moins une des deux est fausse. Exemple :”xest un entier etx >√2”est vraie pourx= 2, fausse pourx23=,1,12. •AouBvraiesi au moins une deAou deBest vraie, faussesi les deux sont fausses. Exemple :”n627ouncarrstunee´”est vraie pourn= 17,64,25, fausse pourn= 30. •siAalorsB(”AimpliqueB”)vraied,e`qseuisAest vraie,Baussi, faussesiAest vraie etBest fausse. Exemple :”sinest multiple de 4 alorsnest pair”est vraie pour tous les entiers, notamment pourn= 2,3,4. ”Sinest premier alors2n+ 1est premier”est fausse pourn= 7. •Asi et seulement siB(”Aavtuqeiu´a`B”)vraiesi elles sont toutes les deux fausses ou toutes les deux vraies, faussel’une est vraie et l’autre fausse.si Exemple :”npair si et seulement sin2est multiple de 4”est vraie pour tous les entiers, notamment pourn= 2,3. Et”x2>4si et seulement six>2”est fausse pourx=−3. •il existextel queA(x)(symbole :∃xA(x))vraietsueelixe´emt´nnles’iatel queA(a) est vraie, fausseneme´le´nucuaruosi,pta,A(a) n’est vraie. Exemple :i”elixierpremisteunentrueia`usrere´p2100”est vraie. Et”il existe un entierntel quenest un carr´eet1106n6120”est fausse. •pour toutx,A(x)(symbole :∀xA(x))vraiesiA(aes)ratvpoiechureuqa´le´nemeta, faussesi, pour au moins una,A(a) est fausse. Exemple :”ecnut´rraifesositeelputr´”ot Etest vraie.”tout entier a au moins deux diviseurs positifs”est fausse •nonA(dnoitagen´”eA”)vraiesiAest fausse, faussesiAest vraie. Remarques. 1.Lave´rite´d’uneassertionquantiﬁ´eede´penddel’ensembleou`lavariablepeutprendresesvaleurs: ”il existextel quex2= 2”steusfa,sleeaiepetvresr´ourlruelesopeisrestn ”toutre´elpositifestuncarre´”est vraie alors quee´leseutt”uortarnce”r´est fausse. 2.Parde´ﬁnitiondelan´egation,onaquelquespropri´ete´ssimples;parexemple:

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