Cours Arithmétique Vendredi 1 août 2003 par François Lo Jacomo ...

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cours

3
13
7
olympique
2
de
premiers
Sain
6
t-Malo
tro
Cours
Division

Nom
Arithmétique
4
V
Exercices
endredi
des
1
Stage
août
duction
2003
2
par
euclidienne
F
3
rançois
bres
Lo
6
Ja
Congruences
como
5
T
11
able
Solution
des
exercices
matières
1
1
Inla
Si
des
In
les
tro
,
duction
en
Quand
fondamen
v
un
ous
en
a
.
v
:
ez
nécessairemen
appris
Solution
l'addition
tre
et
Exer
la
térêt
m
par
ultiplication,
.
v
en
ous
de
a
par
v
moins
ez
t
commencé
tier
par
et
addi-
.
tionner
n'existe
et
ou
m
;
ultiplier
un
des
v
en
nom
tiers,
tier
puis
oir
des
que
nom
t
bres
outre
décimaux,
note
des
suite
nom

bres
et
réels...
;
et
à
v

ous
ul,
a
t
v
est
ez
alors
sans
tous
doute
particulier
eu
divisible
la
eut
sensation
:
que
strictemen
cela
.
rev
sup
enait
alors
au
an
même
t
:
p
en
t
tan
2
t
l'étude
qu'op
réels
érations,
Un
l'addition
est
des
en
en
existe
tiers
v
ou
a
des
dit
réels,
on
la
ou
m
diviseur
ultiplication
et
des
symétriques).
en
tout
tiers
propriétés
ou
divisibilité
des
en
réels
jouen
se
est
manipulen
et
t
si
quasimen
et
t
,
de
donc
la
,
même
non
manière.
érieur
Et
et
p
strictemen
ourtan

t,
tel
les
,
en
divisible
tiers
p
et
tiers
les
;
réels
Il
son
et
t
que
deux
on
ob
encore
jets
que
mathématiques
fait
très
d'en
diéren
compris
ts.
et
L'arithmétique,
par
l'étude
érieurs
des
d'en
nom
er
bres
T
en
en
tiers,
e
est
le
un
exercice
c
de
hapitre
a
à
tier
part
en
et
Cela
réputé
in
dicile
dans
des
des
mathématiques,
bres
où
:
certains
divisibilité.
problèmes
en
d'apparence
:
ano
divisible
dine
un
p
tier
euv
s'il
en
un
t
tier
rester
tel
des
a
siècles
v
sans
On
solution.
égalemen
Il
que
est
divise
donc
,
fondamen
que
tal,
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quand
de
des
,
nom
on
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Si
apparaissen
rôles
t
Signalons
dans
de
un
quelques
problème,
immédiates
de
la
bien
:
v
tout
oir
tier
s'il
t
s'agit
divise
de
et
nom
divisible
bres
(
en
osons
tiers

ou
Supp
de
Or
nom
.
bres
égal
réels,
alors
en
au
sac
;
han
soit
t
à
que
tier
les
n
métho
alors
des
sup
de
si
résolution
seulemen
n'on
si
t
t
rien
;
à
si
v
que
oir
et
et
l'en
la
,
diculté
par
est
est
tout
.
autre.
our
Sauf
en
lorsque
que
cela
clair
sera
en
précisé,
est
les
:
nom
.
bres
par
qui
soit
in
tels
terviennen
Mais
t
p
dans
citer
ce
plus
c
tal
hapitre
cela
son
le
t
qu'il
des
pas
en
tier
tiers
t
relatifs
en
(p
à
ositifs,
égaux
négatifs
Si,
ou
exemple,
n
divise
uls),
et
élémen
tiers
ts
couples
de
tous
1
,
.
rouv
Une
:
notion
sinon,
joue
écriv
un
t
rôle
cic
essen
,
tiel
quotien
dans
:
l'étude
premier
des
résoudre
nom
ermettre
bres
nous
en
serait
tiers,
en
et
strictemen
elle
compris
est
tre
dén
et
uée
.
de
tout
un
Z
a
b q a=bq b a b
a b|a
a∈Z 0 1 a
a|b b|c a|c
m a|b ma|mb
a|b a|c a|bx+cy x y a|b−c a|b+c
0 1 b a |b|>|a| a=0
|a|a=bq |q|= 0 1|b|
(a,b) 2 ab−1
(a−1)(b−1)
I ab−1>a(b−1)>(a−1)(b−1) ab−1 (a−1)(b−1)
q ab−1 = q(a−1)(b−1) 1
2
µ ¶µ ¶
ab−1 a b
<
(a−1)(b−1) a−1 b−1
a6b a b
a 1 b
=1+ >
a−1 a−1 b−1
a>4
b a 4
6 6
b−1 a−1 3propriétés
a
manière
:
Soit
d'Euclide.
ce
l'algorithme
,
à
T
grâce
facteur
et
et
tiers
.
en
et
deux
,
à
solutions
uns
en
comm
:
diviseurs
des
les
la
déterminer
.
de
trouv
commencer,
lors,
our
son
p
(exclu
ermet,
si
Donc
3
on
de
a
s'écrit,
nécessairemen
t
t
solution
p
divisible
euclidienne
la
division
en
ou
Or
La
,
.
seuls.
et
p
.
la
Si
soit
ie
t
,
que
Donc
.
,
t
.
tiers
Or
,
.
qui
par
donc
divisible
et
est
exister
diérence
ec
la
unique,
,
Les
si
t
l'unicité,
en
à
ositif.
t
tier
Quan
utr
othèse.
un
yp
(Division
l'h
1
,
eucli-
donc
,
tredit
découlen
ne
lui
p
la
eut
divise
v
Les
aloir
il
que
Division
con
our
ou
et
qui
v
.
p
P
raison
our
en
ce
tel
,
donc
à
ramène
,
en
inférieur
le
t
ositifs).
strictemen
eet,
progression,
générale,
la
strictemen
de
deux
ul
que
n
ccurrence
ou
soit
ositif
traîne
p
soit
terme
que
un
;
devien
divise
t
divise
serait
v
,
en
à
et
égal
v
ou
d'où
érieur
manière
sup
.
était
seules
Si
son
progression.
donc
donc
tier
la
out
de
et
ul
p
;
strictemen
p
.
our
A
n
e
ou
:
ositif
Si
,
euclidienne)
on
est
obtien
par
t
Théorème
p
dienne
terme
division
etit
de
p
le
plus
t
le
tiers
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divise
app
aussi
on
divisibilité
et
.
qui
il
n'a
de
pas
principales
de
euclidienne
solutions.
donc
Si
divise
arithmétique
diérence
progression
2
la
eux
,
p
considère
,
on
our
,
érié
et
est
tiers
Et
en
our
des
même
l'existence
qui
er
tier,
prouv
divise
our
que
P
er
tiel.
,
essen
égalemen
est
à
à
se
inférieur
On
t
déduit
strictemen
problème
soit
et
que
Dès
fait
p
,
En
donc
de
le
très
ne
si
p
et
eut
t
v
t
aloir
en
que
tels
et
son
et
puisque
,
l'o
quotient
alors
le
en
que
ou
t
en
ortan
,
imp
ce
plus
d'où
rôle
tels
un
et
joue
donc
euclidienne
et
division
que
devien
tels
t
et
la
il
de
a
este
deux
r
tiers
Le
.
µ ¶2ab−1 4