Courbes et fibres vectoriels en theorie de Hodge p adique

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Courbes et fibres vectoriels en theorie de Hodge p-adique Laurent Fargues Travail en commun avec J.M. Fontaine

qp ?

xn ?

algebriquement clos

algebre de frechet

applications arithmetiques

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Fontaine Fargues

Courbes

ﬁbr´es

vectorielsenthe´orie

Travail

Laurent commun

Fargues avec J.M.

de Hodge

Fontaine

p-adique

L’anneauB+

L’anneauB

Fsiit´treracadtcequecco´elemppsorluvap,v:F→R∪ {+∞}, \ alge´briquementclos`F'k((π))

pour

les

applications

arithme´tiques

L’anneauB+

Fcoeu´eristiqdecaractcemolpteprvsla´up,v:F→R∪ {+∞}, \ alg´ebriquementclos`F'k((π ´tiques)) pour les applications arith me

W(OF)ˆ1˜ p

Pn−∞[xn]pn|xn∈ OF

L’anneauB+

Fcsprolempectdluvaco´eert´acarequtiisp,v:F→R∪ {+∞}, \ alge´briquementclos`F'k((π)lrsep)uoe´mhuqitseplapaticnsioitar´ W(OF)ˆ1p P˜ ˘n−∞[xn]pn|xn∈ OF¯ _



R∪ {+∞}

pourr∈R+,vrest une valuation

 ni∈nfZ{v(xn) +nr}

L’anneauB+

Fule´spaveldtocpmact´ecartiqueriseorcp,v:F→R∪ {+∞}, \ alge´briquementclos`F'k((πoitarasnpasecilp)p)rlouquesithm´eti´ W(OF)ˆ1p˜ ˘ Pn−∞[xn]pn|xn∈ OF¯ _

 R∪ {+∞}

 ni∈nfZ{v(xn) +nr}

pourr∈R+,vrest une valuation De´ﬁnition On note B+lempcoetl´de´eW(OF)ˆp1˜ort`apraarpp(vr)r>0.

ϕest bijectif

B+=Qp−theecFrlaederbe`g

0≤i≤d−1Xd−1)7−→X0x...x´+hϕp=(d

{z P

h,d

`B+´ϕ | {z

}

D´eﬁnition h≥1,

Ph,0ebg`al-re

Alge`bregradu´ee

gr d ´ a uee.

M d≥0

Qph

p˜ihi+dnˆZ∈nn−pxFO∼)−(→+Bϕ´=hdp1)GrigOF(F)=G(e´dheinﬁlrap-FsepotogiloeBedacanaenﬃorpuBe(d¨odıtsd’poinus-gunsom.1<<0rB(→−−∼FdBd⊂˚)0ou)p1(0hurFpGrigOF'˚Bd(0coilenedeptndeshfopeelrmdip-isv.≤1eu,h≤d=GisuorgeBanacedorsqachL+Bϕ´`e=ps=hdpd

Ph=M`B+´ϕ=p d≥0|P{z } h,d

˚ 'Bd GOF(01)

Lorsque 1≤d≤h, siG= groupe formelp-div. isocline de pentedhsurFp

Qph=Ph,0erbedarg-`glaeeu´. h `B+´ϕ=pd= espace de Banach

Deﬁnition ´ h≥1,

Alg`ebregradue´e

i+˜pnd−nhiZˆxp1Xn∈≤i−dX→≤0)1−7x−dstniop-Fsuosnu’dﬁn´ehdacesrlpaieopoldpotBenaigde)∼−G(OF´ϕh=→(B+´+B(p=hϕ0x(d...r0ou<1<dF.m−→∼−(d0)˚⊂dB0(1p)-groupeaﬃno¨ıdeBgir(F)=igOFGrhd