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Correction de la feuille V On designe par K le corps R ou C et par |?| le module de ? ? K. Attention, on donne ici des indications et on n'explicite pas tous les calculs demandes, qui sont absolument a faire cependant. Exercice 1. (Produit scalaire standard sur Kn) — 1-a. Rappelons qu'une norme n est issue d'un produit scalaire ssi cette norme veriﬁe l'identite du parallelogramme : ?a, b ? E, n2(a + b) + n2(a? b) = 2(n2(a) + n2(b)). - Pour n = 1, les deux normes ? ? 1 et ? ? ∞ sont bien issues d'un produit scalaire, puisque ?x? 1 = ?x? ∞ = |x| et que |x| = √ (x|x), ou (x|y) = xy. - Pour n ≥ 2, les deux normes ? ? 1 et ? ? ∞ ne sont pas issues d'un produit scalaire. En e?et, posons par exemple a = (1, 1, 0, · · · , 0) et b = (1, 0, · · · , 0). On a alors ?a + b? ∞ = 2, ?a ? b? ∞ = 1, ?a? ∞ = 1, ?b? ∞ = 1.

somme partielle

?a ? πf

equivalents complexes des matrices symetriques

x3 ?

matrice de passage

nu? ≤

rang

Voir

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Onde´signeparKle corpsRouCet par|α|le module deα∈Kon donne ici des. Attention, indicationsetonn’explicitepastouslescalculsdemande´s,quisontabsolument`afairecependant.

n Exercice 1.(Produit scalaire standard surK) —1a.Rappelons qu’une normenest issue d’unproduitscalairessicettenormev´eriﬁel’identit´eduparalle´logramme:

2 22 2 ∀a, b∈E, n(a+b) +n(a−b) = 2(n(a) +n(b)).

- Pourn= 1, les deux normes 1et ∞sont bien issues d’un produit scalaire, puisque x1=x∞=|x|et que|x|= (x|xu`o,)(x|y) =xy. - Pourn≥2, les deux normes 1et ∞ne sont pas issues d’un produit scalaire.En eﬀet, posons par exemplea= (1,1,0,∙ ∙ ∙,0) etb= (1,0,∙ ∙ ∙,a alors0). Ona+b∞= 2,a−b∞= 1,a∞= 1, b∞= 1.Pour 1, posons par exemplea= (1,1,0,∙ ∙ ∙,0) etb= (2,0,∙ ∙ ∙,0). 1b.SoitB= (a1, a2, a3,)`oua1= (1, i,−i), a2= (1,0, i), a3= (0,1,1−imontrer que). PourBest 3 une base deCensslonoseocnoltriceamatlescdontlreluclaledgnaretceunp,odoor´enndeessaidans la base canonique et montre que celui-ci est 3. 3 Trouverunebaseorthonorme´eNdeC, telle que la matrice de passage deNa`Bsoit triangulaire, revient`adirequelabaseN= (n1, n2, n3) est telle quevect(n1) =vect(a1),vect(n1, n2) =vect(a1, a2). Leproc´ed´ed’orthonormalisationdeGram-SchmidtvadonnerlabaseN. a1 2 22 - On aa1+= 11ii+ (−i)(−i) =|1|+|i|+| −i|posons= 3,n1= . 3 1   - Soitn=a−(a|n)n= (1,−2i,5i). On a/10∙. 2 22 1 1n= 10/:3. On posen2= 3n2 2 3   |n)netn - Enﬁn on pose :n=a3−(a3|n1)n1−(a3 3 2 2n3=3∙n. 3 4 1c.SoitF={(x, y, z, t)∈R;x+y−t= 0}trouver une bon de. PourF, on trouve une base de Fotemrlaohono’tr´ddeoc´eleprlisenutiidhmoutpndredu´etasidnoiarGecS-mriueenob.n  Exercice 2.(Produit scalaire surKn[X]) —SoitE=K3[Xr´eedegpaesl’]psloecedemdsnyoˆ≤3, `acoeﬃcientsre´elsoucomplexes,maisa`variablere´elle(pourinte´grerdesfonctionsr´eelles!),munidu  produit scalaire (P|Q) =P Qnote. On la norme issue de ce produit scalaire. [0,1]  3 23 4 2a.IciK=Ra (1. On+X|1−X+X1) =−X+X−X= 1−1/3 + 1/4−1/5 et [0,1]  2 22 4 1 +X= 1+ 2X+X= 1 + 2/3 + 1/eed´ermnUonh5o.arsteeboEest par exemple obtenue [0,1] 2 3 `apartirdelabase(1, X, X, Xp)Schmidt.ndeGram-silaoitaohtrmrond´´e’oedlearocpr   2b.On suppose iciK=C. SoitF={P(X)∈E;P(0) =P(0), P(0) =−iP(0)}. Une i 2 3 base deFest par exemple (P(X+) = 1X−X ,X.O)ndnedu´etinubesadeeFeproc´ed´eaplr 2    3 33 6 3 3 d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.On a :X=X X=X X=X= [0,1] [0,1] [0,1] 3  1/7, on poseA(X7) =∙XetB(X) =P(X)−(P|A)A(X), puisB=B /B. Lafamille (A, B) est alors une bon deFonogdeale´tehtroeL.jorpQ(X) = 1−iXsurFestR= (Q|A)A+ (Q|B)Bet la distance deQ(Xa`)FestQ−R. ⊥ CommeFest de dimension ﬁnie, on sait que :F⊕F=E, et que si (A, B,G) est une bon deE, ⊥ ⊥ Gest une bon deFouecfl(cbenU.)srpusudesamentpl´eorthairelagonoFdeFneeotdsconde´nen compl´etant(A, B) parGen une bon deEO.cnmo(drobaurcelad’pl`etepoA, B) en une base deE, par ⊥ ` exemple :(1, X, A, B) est une base deE. Ace stade, (1, X) n’est pas une base deF. Onapplique alors l’algorithmedeGram-Schmidt`a1etX, pour obtenir une baseGtelle que (A, B,G) soit une bon deE. ⊥ Remarque.On peut aussi remarquer queP∈Fssi pour toute base (v1,∙ ∙ ∙, vn) deF, (P|v1) =∙ ∙ ∙= (P|vnne’usdntCe).sebaennodicels´me´eest´leurogohilanlreﬁtro’tdev´eri=0(ilsuﬃ)

Voir