Concours Fesic mai
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Niveau: Supérieur
[ Concours Fesic mai 2006 \ Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, ?1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste. EXERCICE 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . Soit la fonction f qui, à tout point M d'affixe z, z différent de 1, associe le point M ? d'affixe z ? telle que z ? = 2z+1 z?1 . 1. f possède deux points invariants conjugués. 2. L'ensemble des points M d'affixes z tels que z ? ?R est l'axe des abscisses. 3. L'ensemble des points M d'affixes z tels que z ? = 2 est un cercle. 4. À tout point M ? du plan d'affixe z ?, on peut associer un point M d'affixe z tel que f (M)=M ? sauf au point M ? d'affixe z ? = 2. EXERCICE 2 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . On considère les complexes z1 de module 2 et d'argument π 3 , z2 = z1 et z3 = 1+ i.
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[ Concours Fesic mai 2006 \ Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, ?1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste. EXERCICE 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . Soit la fonction f qui, à tout point M d'affixe z, z différent de 1, associe le point M ? d'affixe z ? telle que z ? = 2z+1 z?1 . 1. f possède deux points invariants conjugués. 2. L'ensemble des points M d'affixes z tels que z ? ?R est l'axe des abscisses. 3. L'ensemble des points M d'affixes z tels que z ? = 2 est un cercle. 4. À tout point M ? du plan d'affixe z ?, on peut associer un point M d'affixe z tel que f (M)=M ? sauf au point M ? d'affixe z ? = 2. EXERCICE 2 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . On considère les complexes z1 de module 2 et d'argument π 3 , z2 = z1 et z3 = 1+ i.
- repère orthonormal
- équation différentielle
- complexes z1 de module
- tangente
- ?? e?t2
- plan complexe
[Concours Fesic mai 2006\
Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse,−1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.
EX E R C IC E1 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal O,u,v. ′ Soit la fonctionfqui, à tout pointMd’affixez,zdifférent de 1, associe le pointM ′ d’affixeztelle que 2z+1 ′ z=. z−1 1.fpossède deux points invariants conjugués. ′ 2.L’ensemble des pointsMd’affixesztels quez∈Rest l’axe des abscisses. ′ 3.L’ensemble des pointsMd’affixesztels quez=2 est un cercle. ′ ′ 4.À tout pointMdu plan d’affixez, on peut associer un pointMd’affixeztel ′ ′ ′ quef(M)=Msauf au pointMd’affixez=2.
EX E R C IC E2 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal O,u,v. π On considère les complexesz1,de module 2 et d’argument z2=z1etz3=1+i. 3 8 9 z×z 3 1 1.=4. 11 ¯ ¯ z 2 4 7 z×z 1 2 2.est un nombre réel. 6 z 3 p 4 3.(z1−z3)=28−16 3. 4.L’ensemble des pointsMd’affixeztelles que arg(z) = arg(z3) est la droite d’équationy=x.
EX E R C IC E3 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal O,u,v. On considère le point A d’affixea=5−On appelle :i 3. π – B le point d’affixeb., image de A par la rotation de centre O et d’angle 3 – C le point d’affixec, milieu de [OA], 1 – D le point d’affixeddonnée pard−c=(b−a), 2 – E le point d’intersection des droites (AD) et (BC). p 1.Le point B a pour affixeb=3 3+i. 2.D est le milieu de [OB]. 3.E est le barycentre de {(B, 1) ; (C, 2)}. 4.La droite (OE) est perpendiculaire à (AB).
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1.La courbe représentant la fonctionx7−→sin(x) est la courbeC2.
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2.On considère les trois courbes cidessous : la courbe représentant la fonction x+1 x−→7e estC1.
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3.On considère la fonctionfreprésentée par la courbeCcidessous et la fonc tionFdéfinie sur [0 ; 4] par Z x F(x)=f(t) dt. 0
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Fest croissante sur [0 ; 4]. 4.On considère les mêmes fonctionsfetFqu’auc. ′′ La fonctionFest deux fois dérivable sur [0 ; 4] et vérifieF(0)=0.
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1.Soientf,gethtrois fonctions définies surR. On suppose que, quel que soit x∈R, on a :f(x)6g(x)6h(xlim), que f(x)=3 et que limh(x)=5. x→+∞x→+∞ Alorsg(x) admet une limite quandxtend vers+∞et cette limite est comprise entre 3 et 5. 1 − 2.Soitfla fonction définie parf(x)=e pourx6=0 etf(0)=0. On appelle (C) x sa courbe représentative dans un repère du plan. (C) possède une asymptote d’équationx=lim0 et f(x)=0. x→+∞ x>0 2 x x 3.La fonctionFdéfinie parF(x)=lnx−est une primitive de la fonctionf 2 2 ∗ définie parf(x)=xlnxsurR. + 4.Soientfla fonction définie parf(x)=2 lnxet (C) sa courbe représentative dans un repère du plan. (C) possède au point d’abscisse−1 une tangente d’équationy= −2x−2.
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Z n 2 ∗ −t 1.Soitula suite définie pour toutn∈Nparun=e dt. On veut prouver 1 que la suiteuest convergente. On considère pour cela le raisonnement sui vant : ∗2 « Je choisism=0 etM=1. Soientn∈Nett∈[1 ;n], on at>t, donc Z n 2£ ¤ n −t−t−t−t 06e6. Il s’ensuit que 0e . 6un6e dt, soit 06un6−e , soit 1 1 −1−n∗ enfin 06un6e−e61. Ceci étant vrai pour toutn∈N, la suite apparaît bornée parm=0 etM=1. 2 ∗ −t Soit de plusn∈N. La fonctiont7−→continue et positive sur [1 ;e est n].un représente donc l’aire de la portion de plan comprise entre les droites d’équa tionsx=1,x=n,y=0 et la courbe représentant cette fonction. Cette aire
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augmente quandnaugmente, ce qui se traduit par le fait que la suiteuest croissante. Conclusion :uest croissante et majorée par 1 donc la suiteuest conver gente. ». Ce raisonnement est exact. x 2.Soitfla fonction définie sur [0 ; ln 2] par :f(x)=(2x−On appelle (1)e . C) la courbe représentative defdans un repère du plan. On cherche à calculer l’aire de la portion de plan limitée par les droites d’équationx=0,x=ln 2,y=0 et la courbe (C). On considère pour cela le raisonnement suivant (et le rensei gnement ln 2≈ 0, 7) : x « La fonctionFdéfinie parF(x)=(2x−3)e est une primitive defsur [0 ; ln 2]. ′x x x Fest en effet dérivable sur [0 ; ln 2] etF(x)=2e+(2x−3)e=(2x−1)e . Z ln 2 £ ¤ ln 2 x On a :f(x) dx=(2x−3)e=(2 ln 2−3)×2−(−3)=4 ln 2−3≈ −0, 2. 0 0 Comme le résultat est négatif, c’est que l’aire cherchée est la valeur absolue de ce résultat, soit 0,2 unité d’aire ». Ce raisonnement est exact. 10 3.Soitfla fonction définie sur parf(x)=(1+x) . On cherche une approxima tion def(0, 001). On considère pour cela le raisonnement suivant : ′9 «fest définie et dérivable surR. Pourxréel,f(x)=10(1+xla courbe) et représentantfpossède une tangente au point d’abscisse 0 d’équationy= ′ x f(0)+f(0), soity=10x+1. On en déduit quef(0, 001)≈10×0, 001+1, soit f(0, 001)≈1, 01. » Ce raisonnement est exact. 4.Soit D l’ensemble des valeurs réellesxtelles que sinx6=0. Soitfla fonction cosx définie sur D par :f(x)=. On veut prouver quefest décroissante sur D. sinx On considère pour cela le raisonnement suivant : «fest une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont dérivables sur D et dont le dénominateur ne s’annule pas sur D. On en déduit qu efest déri vable sur D. 2 2 −sinx−cosx ′ ′ Pourx∈D , on af(x)=. Pour toutx∈D, on af(x)<0. 2 sinx Comme le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fo nction, c’est quefest strictement décroissante sur D. » Ce raisonnement est exact.
EX E R C IC E7 ′ −x Soit (E) l’équation différentielle :y+2y=e sinx. 1 Soitfla fonction définie parf(x)= −(cosx−sinx). 2 ′ 1.fest dérivable surRet, pourx∈R,f(x)=sinxcosx. Z (n+1)π 1¡ ¢ ′ −nπ−π 2.Pourn∈N,f(x) dx=e e+1 . nπ2 3.fest l’unique solution de l’équation (E) qui s’annule en 0. 4.Sigest une solution de (E), la courbe représentantgpossède une tangente au point d’abscisse 0 dont une équation est donnée pary=(1−2x)g(0).
EX E R C IC E8 ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormal O,u,v. µ ¶ 3x+2 Soitfla fonction définie parf(x)=ln . On appelleDfl’ensemble de défini 5x tion def.
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∗ 1.Df=R. + ½ ¾ −2 2.Soitgune fonction définie et dérivable surDg=R−telle que quel0 ; 3 3 1 ′ que soitx∈Dg,g(x)= −.fetgsont égales à une constante additive 3x+2x près. f(x) 2 3.lim= −. x→1 x−1 5 4.limx f(x)=0. x→0 x>0
EX E R C IC E9 ∗3x Soientλ∈Ret les fonctionsf1etf2définies surRparf1(x)=e , + 2x2x f2(x)= −λe+2λe . On appelleC1etC2leurs courbes représentatives dans un repère du plan. 1.C1etC2se coupent au point A(lnλ; 3λ). ∗ itλ∈Rdessus deC2. 2.Quel que so+,C1est au 3.Il existe un point B en lequelC1etC2possèdent la même tangente. 4.Lorsqueλest supérieur à 1, l’aire de la portion du plan comprise entre les courbesC1etC2et limitée par les droites d’équationx=0 etx=lnλest, en 3 (λ−1) unités d’aire, . 3
EX E R C IC E10 On considère une suitevstrictement croissante dont tous les termes appartiennent à l’intervalle [0 ;π]. On définit les suitescetspourn∈Nparcn=cos (vn) etsn=sin (vn). 1.La suitevconverge versπ. 2.La suitecest croissante. 3.La suitesest périodique. π 4.Les suitescetssont adjacentes si et seulement si la suitevconverge vers . 4
EX E R C IC E11 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal O,u,v. 2nπ i On considère la suite (zn) définie pourn∈Nparzn=e et on appelleAnle point 3 d’affixezn. 1.Quel que soitn∈N,Anappartient au cercle de centre O et de rayon 1. 2.Quel que soitn∈N,|zn+1−zn| = |z1−1|. 3.La suite (zn) est périodique de période 5. 4 X 4.=z0+z1+ ∙ ∙ ∙ +z4=0. k=0
EX E R C IC E12 µ ¶ 1 1 ∗ On considère la suiteudéfinie pourn∈Npar :u1=1 etun+1= +un. 2 n n n ∗ 1.Pourn∈N, on aun=. (n−1)! 2.La suiteuest croissante.
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µ ¶ n−2 3 ∗ 3.Quelque soitn∈N, si on an>2, alors on aura : 06un62×. 4 4.La suiteuest convergente et de limite nulle.
EX E R C IC E13 On considère un espace probabilisé fini (Ω,p) dans lequel un évènement A a les trois possibilités A1, A2, et A3deux à deux distinctes de se produire et un évènement B a les deux possibilités B1et B2distinctes de se produire. Le tableau suivant donne en pourcentages la probabilité de certains évènements de se produire par rapport à l’universΩ.
A1A2A3Total / A B120 B230 Total / B 10 100 1 On donne aussi les renseignements suivants :p(A2)=60 % etpB(A3)=. 1 6 1.A1et B1sont incompatibles. 2.La probabilité d’obtenir B1est 24 %. 3.Si A3est réalisé, la probabilité d’obtenir A3et B1est 4 %. 4.La probabilité d’obtenir A3et B1est 4 %.
EX E R C IC E14 Une rampe lumineuse est constituée d’ampoules bleues, rouges ou jaunes prove nant de deux usines U1et U2. U1produit 60 % de ces ampoules. La durée de vie en années de chacune de ces ampoules suit une loi exponentielle dont les paramètres sont les suivants :
Ampoules de U1 Ampoules de U2
Ampoules bleues λB1=0, 25 λ=0, 2 B20
Ampoules rouges λR1=0, 20 λR=0, 15 2
Ampoules jaunes λJ=0, 15 1 λ=0, 10 J2
1.nt qu’elleLa probabilité qu’une ampoule rouge dure moins de 5 ans sacha ¡ ¢ −1 vient de U16 1est 0, −e . 2.La probabilité qu’une ampoule rouge dure moins de 5 ans est −1,25−1 1−0, 6e−.0, 4e 3.La probabilité qu’une ampoule jaune dure entre 5 et 10 ans est ¡ ¢ ¡ ¢ −0,75−1,5−0,5−1 0, 6 e−e+e0, 4 −e . 4.La demivie en années d’une ampoule jaune de U2est 4 ln 2.
EX E R C IC E15 Le schéma cidessous représente une situation de l’espace dans un repère approprié dont le centre est un point O. On sait que la droite d est orthog onale au plan P. On appelle A le point de coordonnées (2 ;−1 ;−2). P
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1.Le plan P a pour équation cartésiennex−y−2z−1=0. x= −2t 2.La droite d a pour équations paramétriques :y=1+2t,t∈R z=2+4t x=2+2t 3.La demidroite [OA) a pour équations paramétriques :y= −1−t z= −2−2t 1 4.La sphère de centre O et de rayon est cachée par P. 2
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EX E R C IC E16 ³ ´ −→−→−→ L’espace est muni d’un repère orthonormal O,ı,,k. ½ 2 y−x=sinθ Pourθ∈R, on désigne par P et Q les plans d’équations respectives P : z∈R ½ 2 z−y=cosθ Q : . x∈R On appelleΔla droite d’intersection de ces deux plans. 1.Pour toutθ∈R, les plans P et Q sont orthogonaux. ½ z−x=1 2.Pour toutθ∈R, la droiteΔest contenue dans le plan d’équation y∈R 3.Pour toutθ∈R, la droiteΔest orthogonale au plan d’équationx+y+z=0. ³ ´ −→−→ 4.Il existe un réelθtel queΔO,soit parallèle au plan ı,.
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