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cours - matière potentielle : topologie

CHAPTER 1. FONCTIONS CONTINUES Chapter 1 Fonctions continues Les résultats de ce chapitre sont formulés pour des espaces métriques. Néanmoins ils restent vrais pour des espaces topologiques. 1.1 Convergence uniforme Dans ce chapitre X désigne un espace métrique et K est le corps C ou R. On note C(X,K) l'espace des fonctions continues de X à valeurs dansK. On dit qu'une fonction f ? C(X,K) s'annule à l'infini si X est compact ou si pour tout ? > 0 il existe un compact Y ? X tel que |f(x)| < ? pour x /? Y . On note par C0(X,K) le sous-espace de C(X,K) des fonctions qui s'annulent à l'infini. En particulier les fonctions de C0(X,K) sont bornées. On note aussi que, si X est compact, C0(X) = C(X). Définition 1.1.1. On appelle ?f?∞ = sup x?X |f(x)| la norme sup ou norme ∞ de f ? C0(X,K). Une suite (fn)n des fonctions de C0(X,K) converge uniformément vers une fonction f : X ? K si la suite des nombres ?f ? fn?∞ tend vers 0 pour n ? ∞.

algèbre des poly- nômes

espace métrique

topologie de la norme ?·?∞

stone-weierstrass

?pm ?

pn ?

hypothèse h? ?

?n aneint

norme du sup

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CHAPTER 1.FONCTIONS CONTINUES

Chapter 1

Fonctions continues

Les résultats de ce chapitre sont formulés pour des espaces métriques.Néanmoins ils restent vrais pour des espaces topologiques.

1.1 Convergenceuniforme Dans ce chapitreXdésigne un espace métrique etKest le corpsCouRnote. On C(X, K)l’espace des fonctions continues deXà valeurs dansKdit qu’une fonction. On f∈C(X, K)s’annule à l’inﬁni siXest compact ou si pour toutε >0il existe un compactY⊂Xtel que|f(x)|< εpourx /∈Ynote par. OnC0(X, K)le sousespace de C(X, K)des fonctions qui s’annulent à l’inﬁni. En particulier les fonctions deC0(X, K) sont bornées. On note aussi que, siXest compact,C0(X) =C(X). Déﬁnition 1.1.1.On appelle kfk∞= sup|f(x)| x∈X lanorme supounorme∞def∈C0(X, K). Une suite(fn)ndes fonctions deC0(X, K) convergeuniformémentvers une fonctionf:X→Ksi la suite des nombreskf−fnk∞ uk∙k∞ tend vers0pourn→ ∞. Onva utiliser les notationsfn−→foufn−→fpour la convergence uniforme. La convergence uniforme d’une suite(fn)nde fonctions versfentraîne la conver gence ponctuelle, c’estàdire que∀x∈X:fn(x)−→f(x)contre, la réciproque. Par est fausse. Les résultats suivants font partie du cours de Topologie. Théorème 1.1.2.Si une suite(fn)nde fonctions deC0(X, K)converge uniformément vers une fonctionf:X→Kalorsfest continue. –sourceﬁle–5Rev: –revision–,March 9, 2011

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