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- cours - matière potentielle : des dernières décennies
Chapitre 1 Vieillissement démographique, vieillesse, de quoi parle-t-on ? Quels sont les indicateurs pertinents ? Progressivement, le vieillissement démographique est devenu un sujet de préoccupation tout comme le réchauffement climatique ou le développement durable. Le terme de vieillissement est souvent employé à tord et à travers pour désigner des choses très différentes telles que l'augmentation du nombre de personnes âgées, ou encore la dégradation de l'état de santé des personnes d'un certain âge. Une remise à plat des concepts entourant le processus de vieillissement démographique semble donc nécessaire avant de débuter cette étude. C'est ce que propose cette première partie. 1.1 Le vieillissement démographique : définition et mécanismes D'un point de vue démographique, le vieillissement d'une population est considéré comme un processus conduisant au renforcement du poids relatif de la population âgée au sein de la population totale. De manière générale, deux types de processus de vieillissement démographique influent sur les structures par âge. Un vieillissement par le sommet de la pyramide des âges intervient lorsque l'effectif de la population âgée s'accroît. L'allongement de la durée de vie, l'arrivée d'une classe d'âges pleine ou l'immigration de personnes âgées sur un territoire peuvent générer ce phénomène. Un vieillissement par la base de la pyramide des âges intervient lorsque l'effectif des jeunes diminue sous l'influence d'une baisse de la natalité ou encore d'une émigration de jeunes.
- vieillissement biologique des individus
- allongement de la durée de la vie
- population âgée
- limitation des activités avant l'arrivée des incapacités et de la dépendance
- vieillissement démographique
- période
- âge
- personnes âgées vers les littoraux attractifs…
Universit´edeNiceAnn´ee2011-2012 D´epartementdeMath´ematiquesSyst`emesDynamiques Cours1:IntroductionauxEquationsdiffe´rentiellesendimension1 Lorsqu’ons’int´eresse`amode´liserunequantite´qui´evolueaucoursdutempsetqu’ilestnaturelde postulerunerelationentrecettequantit´eetsade´rive´e,onproposeune´eertneillequationdiff´e. C’est l’exemple le plus simple deysydeme`tsquenamie,llre´eientoitaffidnenutuqe´ricisnov’useciqe.alloNous dans le cas unidimentionel pour commencer, et comment on peut les etudier.
1De´finitionsetpremiersexemples Conside´ronsunequantit´ey(tatulopepnccon,iooitartneusenu’dn()at’dnulielbstance,...)qui´veloeu 0 aucoursdutempsetsade´riv´eey(t)etsixeee´vire´d.elednnbaiaossertettequecosersuppl()qsroli’u Supposonsqu’onsoitconduita`postulerunerelationentrecettequantit´eetsade´riv´eedelaforme dy(t) =f(t, y(t)) dt 1 pour une fonctionferC.ile`eralteetticuparontitues´eneedupremierordrednoie´ffitnerlleiatquet la r´esolutiond’unetellee´quationconsiste`atrouvertouteslesfonctionsy(t) inconnues qui satisfont cette ´equation. Exemple :Lelponentiedoe`elxemi,rter,`ae´sertudimentae´opruere´rpposolaeroicr´eprntseenunass’dec populationparThomasMalthusen1798.Ilsupposequelapopulationposse`deuntauxdereproductionr constant,simplediff´erencedutauxdenatalite´etdutauxdemortalit´e(lapopulationestsuppose´eisole´e c’est-a`-direqu’aucunemigrationn’estenvisage´e).Siy(tnttans’ialn`iopapolutaialldelesignelat)d´etet y(t+δt)−y(t) 0 0 y(te´vire´das)uleforme,lay(t) =ry(t) signifie que le taux de croissanceentre les instantst δt ett+δtestpropor`lennoitay(tquuttourfficoeecelste)t´enaliedrpeitnitnopororne varie pas au cours rt dutemps.Onpeutre´soudrecettee´quation:sasolutionestdonn´eepary(t) =y(0)e`ouyd)e´isnge0( latailledelapopulationa`l’instantt= 0 qu’on appellecondition initialedomeC.rrocele`dondpoes`anc unecroissance exponentiellede la population lorsquer >uso`noonemd’d0lientnempo`eexoldesouvent utilise´a`laplacedeisnetluhlemaod`emnoqsN.toelisonentielsanceexpce´dsiordissenu’ags’auirilu’utpe r´ngetaf.iets 0 Anoterquel’e´quationdiff´erentielley(t) =ry(tfinietd´eafonparloitcn)sef(y) =ryqui est une rt fonctionline´aire.L’ensembledesessolutionss’´ecrit{y(t) =y(0)e,y(0)∈R}et comporte donc une infinit´edesolutionsdiffe´rentes,autantquedevaleurspossiblespourlacondition initialey(0). Exemple :Li’´deeduelelogismod`uqite, introduit par Verhulst en 1836, est la suivante. Si la population pouvaitcroıˆtreinde´finiment,sansrencontreraucunelimitationderessourceoud’espace,elleauraitune croissance exponentielleoitauqsnpxualupo’oelnnusiaM.assiorcexponnceeelleentiptsa’nse´teedapa observeleplussouvent`al’exceptionpeut-ˆetred’unepe´riodeinitialeo`ulatailledelapopulationest encore petite, car elle ne tient pas compte des limitations environnementales qui, de fait, ralentissent la croissance lorsqu’on s’approche de la taillenormalede la population qu’on appelle sait´eapacceuqitoib y t Kcelampredeeed´’ilu`o’D.notsnatlrteuacxrpar un taux variabler(1−aiatedellenepelddq)´diu K la population. Ce coefficient 1−ocheteprorsqde1latlieualalopeledlapuontittesesr`itepc,etsere K quiexpliqueled´ebutdecroissanceexonentielle,puisildiminuejusqu’`atendrevers0lorsquelataillede y(t) 0 lapopulationaugmenteettendverslacapacite´biotique.L’e´quationlogistiqueesty(t) =ry(t)(1−). K En fait le coefficientr(1−y/Kalere)e´rptnespsnoeridneocqieubiotit´eapacelacpdtra`aleibchaque instantt. Plus cette part s’amenuise et plus la croissance se ralentit. y(t)y 0 L’´eigtselolqieuontiff´dienereltiauq,y(t) =ry(t)(1−ontincfofie´dtse)alrapeinf(y) =ry(1−) K K y(0)K 2 quiestunpolynoˆmededegre´deux.L’ensembledesessolutionss’´ecrit{y(t) =−rt,y(0)∈ y(0)+(K−y(0))e R}enaa.Ily´t.efininnuiesuis 10 Lese´quationsdiffe´rentiellesdu2eordrefontintervenirnonseulementlafonctionyeev´ri´edasteydae´sssieeir´vauisma 00 secondeyre’ordosn´sedqeutaltein’la`’uqsujnoitcnfoladees´eiverd´lrseevintnrenoitfordren. 2dy ty t1 L’´equationpeutsere´e´crire=ry(t) 1−os,epti´r´etueserceir dy(t) =rdtMais comme on a dt K y(t) y(t) 1− K 1 1 dy(t) dy(t)y(t) 1 1K Kste l’e´galit´e=+,l’´equationdevient+=rdtt,angr´entni’,oe`dunly(t)−ln(1−) =rt+C N y(t) K y(1−)y1−y(t) K K1− K ste y t rt C soit encore en prenant l’exponentielle=e eciledev´.Ilestfalecanotsrefiireuqni’detnaitarge´ticutvaoni y t 1− K y(0)K y(0)K ste C= ln.’Dapr`o`u,mpliessitacfisnoisal,tulonioy(t.) = −rt K−y(0)y(0)+e(K−y(0))
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