Chapitre sur les barycentres Cours.
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Français
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2006
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èreCours Barycentres 1 GMAF
Barycentres
Nous avons étudié en activité préparatoire des problèmes de point d'équilibre sur un segment
dont les extrémités étaient pondérées.
Nous allons voir qu'en fait l'utilisation des calculs vectoriels facilite la recherche d'un tel point
d'équilibre. Nous appellerons ce point barycentre du système pondéré, et nous étudierons les
barycentres de deux points, puis de trois. Nous terminerons ce cours par l'écriture du
barycentre d'un système pondéré dans un repère orthonormé.
Rappel. La relation de Chasles.
Pour le calcul vectoriel et pour les constructions géométriques que nous aurons à faire, la
relation de Chasles est la propriété fondamentale, elle doit réellement être maîtrisée.
Relation de Chasles.
Pour tous points A, B et C, on a :
? ? ?
AC = AB + BC
I- Barycentre de deux points.
Vocabulaire. Le couple (A, a) formé du point A et du nombre réel a est appelé point pondéré.
Définition. Barycentre de deux points pondérés.
Soient a et b deux nombres réels tels que a + b 0 et soient A et B deux points du plan.
Le barycentre du système de points pondérés (A,a) et (B,b) est le point G qui vérifie :
? ?
aGA + b GB = 0 .
Exemples. Voir l'activité 6.
Propriété.
Si G est barycentre de (A,a) et (B,b) alors :
• G est situé sur la droite (AB).
• G est aussi barycentre de (A,ka) et (B,kb) pour tout nombre k non nul.
1
fifififififi„II- Barycentres de trois points.
Définition. Barycentre de trois points pondérés.
Soient a, b et c trois nombres réels tels que a + b + c 0 et soient A, B et C trois points du
plan.
Le barycentre du système de points pondérés (A,a) (B,b) (C,c) est le point G qui vérifie :
? ? ?
aGA + b GB + c GC = 0 .
Exemples. Voir l'activité 7.
Remarque. On peut définir de la même manière le barycentre de quatre points, cinq points,
ou n points avec n un nombre entier non nul.
III- Barycentre et repère orthonormé.
Propriété. Coordonnées du barycentre d'un système pondéré.
On considère une répère orthonormé.
• Barycentre de deux points.
Soient a et b deux nombres réels tels que a + b 0 et soient A(x ,y ) et B(x ,y ).A A B B
Soit G(x ,y ) le barycentre du système de points pondérés (A,a) (B,b).G G
Les coordonnées du point G sont données par :
ax + bx A B
x = G a + b
ay + byA B
y = G
a + b
• Barycentre de trois points
Soient a, b et c trois nombres réels tels que a + b + c 0 et soient A(x ,y ), B(x ,y ) etA A B B
C(x ,y ).C C
Soit G(x ,y ) le barycentre du système de points pondérés (A,a) (B,b) (C,c).G G
Les coordonnées du point G sont données par :
ax + bx + cxA B C
x = G
a + b + c
ay + by + cyA B Cy = G a + b + c
Exemples. Activité 7.
2
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