Chapitre Racines des polynomes reels et complexes

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Math ematiques assist ees par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynomes reels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/28 Objectifs de ce chapitre On sait r esoudre les equations polynomiales de degre 2, 3, 4 avec les quatre operations +, ?, ?, / et les racines 2 √ et 3 √ . En degre ≥ 5 ceci n'est plus possible. Le theoreme de Gauss–d'Alembert assure au moins l'existence des racines dans le corps des nombres complexes. Ce chapitre presente des methodes pour effectivement localiser ces racines : Les regles de Descartes et de Budan–Fourier. La methode de Sturm pour localiser les racines reelles. La methode de Cauchy pour localiser les racines complexes. 2/28 Sommaire 1 Equations polynomiales et existence des racines Equations polynomiales : degre ≤ 4 vs degre ≥ 5 Racines rationnelles : recherche exhaustive Localisation grossi ere des racines : la borne de Cauchy 2 Localisation effective des racines reelles et complexes Les regles de Descartes et de Budan–Fourier Racines reelles : indice de Cauchy et suites de Sturm Racines complexes : localisation dans le plan complexe 3/28 Equations polynomiales On veut r esoudre une equation polynomiale (r eelle ou complexe) x n + a n?1 x n?1