Chapitre Racines des polyn

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Math ematiques assist ees par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polyn omes r eels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Ann ee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/28 Objectifs de ce chapitre On sait r esoudre les equations polynomiales de degr e 2, 3, 4 avec les quatre op erations +, ?, ?, / et les racines 2 √ et 3 √ . En degr e ≥ 5 ceci n'est plus possible. Le th eor eme de Gauss–d'Alembert assure au moins l'existence des racines dans le corps des nombres complexes. Ce chapitre pr esente des m ethodes pour effectivement localiser ces racines : Les r egles de Descartes et de Budan–Fourier. La m ethode de Sturm pour localiser les racines r eelles. La m ethode de Cauchy pour localiser les racines complexes. 2/28 Sommaire 1 Equations polynomiales et existence des racines Equations polynomiales : degr e ≤ 4 vs degr e ≥ 5 Racines rationnelles : recherche exhaustive Localisation grossi ere des racines : la borne de Cauchy 2 Localisation effective des racines r eelles et complexes Les r