Chapitre Approximation polynomiale

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Math ematiques assist ees par ordinateur Chapitre 7 : Approximation polynomiale Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Ann ee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/23 Objectifs de ce chapitre Ce chapitre initie aux questions d'approximation d'une fonction continue donn ee par des polyn omes. C'est une vaste th eorie que nous n'esquisserons ici que superficiellement. Par rapport a la norme uniforme, nous etudions l'interpolation de Lagrange, qui est analogue a l'approximation de Taylor. Dans les deux cas des ph enom enes de non-convergence sont possibles et doivent etre connus a titre d'avertissement. Fort heureusement, le th eor eme de Weierstrass assure que toute fonction continue f : [a, b]? R peut etre uniformement approch ee par des polyn omes P n , de sorte que ?f ? P? ∞ ? 0 pour n?∞. Nous enonc¸ons ici la formulation constructive due a Bernstein. Algorithmiquement, la norme quadratique s'av ere plus avantageuse : elle provient d'un produit scalaire et permet des calculs tr es efficaces.