CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI

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Georges Cailletaud

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1 CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI ÉLASTOVISCOPLASTIQUE E H ? ?y a p(t) P a l'infini Géométrie et matériau considéré Une cavité sphérique de rayon a (définie en coordonnées sphériques r,?,?, par r ? [a,+∞[) est creusée instantanément (p(t) = P pour t < 0 et p(t) = 0 pour t ≥ 0 où t est le temps) dans un massif infini initialement sous contraintes homogènes et isotropes : ? ? (r, t = 0) =?PI ? où P est la pression à l'infini (Figure ci-dessus). Le matériau est un matériau viscoplastique de Bingham tel que : ? ? e = 1 E [(1+?)S ? ??trace(S ? )I ? ] avec S ? = ? ? ? (?PI ? ) ?˙ ? p = 3 2 s ? J < J??y > ? avec s ? = S ? ? 1 3trace(S?)I? et J = ((3/2)si j : si j) 1/2 E est le module d'Young, ? le coefficient de Poisson, ?y la limite d'élasticité et C = ?y/2 la cohésion ; ? désigne le module de viscosité.

?pr ? ?

cavité sphérique

rayon de la zone viscoplastique

matériau

analyse quantitative de la fermeture réelle de la cavité

zone plastique

?r ?

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Matériau

CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI ÉLASTOVISCOPLASTIQUE

Géométrie et matériau considéré Une cavité sphérique de rayona(déﬁnie en coordonnées sphériques r,q,j, parr∈[a,+¥[) est creusée instantanément (p(t) =Ppourt<0 etp(t) =0 pourt≥0 oùtest le temps) dans un massif inﬁni initialement sous contraintes homogènes et isotropes : s(r,t=0) =−PIoùPest la pression à l’inﬁni (Figure cidessus). Le ∼ ∼ matériau est un matériau viscoplastique de Bingham tel que : 1 e e= [(1+n)S−ntrace(S)I]avecS=s−(−PI) ∼ ∼∼ ∼∼ ∼∼ E 3s<J−sy> p∼ ˙e= ∼ 2Jh 1 1/2 avecs=S−trace(S)IetJ= ((3/2)si j:si j) ∼ ∼∼ ∼ 3 Eest le module d’Young,nle coefﬁcient de Poisson,syla limite d’élasticité etC=sy/2 la cohésion;hdésigne le module de viscosité. On appelle constante de temps du matériau la quantité a=E/2(1−n)h. On suppose dans la suite que la pression géostatiquePest telle queP>2sy/3.

1. Mise en équations 1.1.Inconnues principales: Compte tenu de la symétrie du problème on utilise les coordonnées sphériques (r,q,j). Par ailleurs, 3 le changement de variabler= (r/a)s’avère utile : 1/3 r=aravecr∈[1,+¥[(1) La paroi de la cavité correspond àr=1. L’unique composante non nulle du vecteur déplacement estur=u(r,t)fonction de la variable d’espaceret du temps réelt. Les déformations totales non nulles sont la déformation circonférentielleeq=ej=u/ret la déformation radialeer=u,r; d’où : u=req(2) ¶ ¶ et, commer=3r: ¶r¶r er=3req,r+eq(3) En ce qui concerne les contraintessr(radiale) etsq=sj (orthoradiales) l’état de référence (pourt<0) est caractérisé par : sr(r,t) =sq(r,t) =−P. Les variations des contraintes sont :Sr=sr+PetSq=sq+P, d’où : sr=Sr−P(4) sq=Sq−P(5) s ss L’équation d’équilibre,r,r+2(r−q)/r=0 devient alors : Sr,r+Srou encore : sq= (1/2)r r Sq= (3/2)Sr,r+Sr(6)

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