C J Ducauze D N Rutledge et H This AgroParisTech

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C.J. Ducauze, D.N. Rutledge et H. This AgroParisTech 69 CHAPITRE 3 ETUDE ET CALCUL DE QUELQUES SPECTRES DE RMN 1 – FONCTIONS ET OPERATEURS DE SPIN DU NOYAU: RAPPELS Les faits expérimentaux, c'est-à-dire les spectres qui sont enregistrés pour un ensemble de noyaux plongés dans un champ magnétique, conduisent à attribuer au noyau – comme à l'électron – un mouvement de pivotement sur lui-même, appelé mouvement de spin. Et l'expérience conduit à admettre, lorsqu'on privilégie une direction dans l'espace, ce qui est le cas lorsqu'on impose un champ magnétique, que ce mouvement de spin ne peut se faire que de certaines façons bien définies. On va prendre comme exemple celui du proton 1H ; c'est le noyau qui est le plus souvent étudié. Si Oz désigne la direction qui a été privilégiée dans l'espace, le mouvement de spin du proton ne peut se faire que de 2 manières discernables : la projection de son moment cinétique de spin I ne peut être égale qu'à 2 ?± et l'on décide d'associer la fonction d'onde ? à un proton dont la projection de I sur Oz est égale à + 2 ? ; la fonction d'onde ? si cette projection est égale à - 2 ? . On pourrait écrire une fonction d'onde beaucoup plus générale sous la forme : µ??? + , ? et µ appartenant au corps des nombres complexes.

yi ?2

moment cinétique de spin

énergie d'interaction entre iµ

energie

opérateur

hamiltonien interne

calcul pour l'hamiltonien externe

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C.J. Ducauze, D.N. Rutledge et H. This AgroParisTech

CHAPITRE 3

ETUDE ET CALCUL DE QUELQUES SPECTRES DE RMN

1 – FONCTIONS ET OPERATEURS DE SPIN DU NOYAU: RAPPELS

Les faits expérimentaux, c’estàdire les spectres qui sont enregistrés pour un ensemble de noyaux plongés dans un champ magnétique, conduisent à attribuer au noyau – comme à l’électron – un mouvement de pivotement sur luimêm e, appelé mouvement de spin. Et l’expérience conduit à admettre, lorsqu’on privilégie une direction dans l’espace, ce qui est le cas lorsqu’on impose un champ magnétique, que ce mouvement de spin ne peut se faire que 1 de certaines façons bien définies. On va prendre comme exemple celui du proton H ; c’est le noyau qui est le plus souvent étudié. Si Oz désigne la direction qui a été privilégiée dans l’espace, le mouvement de spin du proton ne peut se faire que de 2 manières discernables : la projection de son moment cinétique de

ℏ spinIpeut être égale qu’à ne ± et l’on décide d’associer la fonction d’ondeα à un 2 ℏ proton dont la projection de I sur Oz est égale à + ; la fonction d’ondeβsi cette projection 2 ℏ est égale à  . 2 On pourrait écrire une fonction d’onde beaucoup plus générale sous la forme :λα+µβ,λ

etµappartenantau corps des nombres complexes. P désignant une probabilité, on aura

ℏ ℏ ∗ ∗ alors : P(projI)= + =λλet P(projI)= − =µµcomme condition de avec,     Oz Oz 2 2

∗ ∗ normalisation,λλ+µµ=1 et I sur , comme valeur moyenne de la projection de Oz :

ℏ∗ ∗ (projI)=(λλ−µµ) . Oz 2 ˆ ˆ ˆ I,I,I Au moment cinétique de spin, on va associer les opérateursx y zpermettent de qui

déterminer les valeurs moyennes des projections de ce moment sur les axes respectifs Ox, Oy, ℏ ℏ ˆ ˆ Oz et, d’après ce qu’on vient de voir :Iα= +αetIβ= −β;αetβsont des fonctions z z 2 2 ℏ ℏ ˆ propres de l’opérateurIappartenant respectivement aux valeurs propres+et  . z 2 2

Voir