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- leçon - matière potentielle : oral
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- xn −
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Leçon d’oral 1. Méthodes d’approximation d’une solution d’une équation numérique réelle. Exemples. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à la calculatrice.
1
∗ Denis Vekemans
20 octobre 2006
Prérequis – Suites réelles : récurrence, convergence, suites adjacentes. – Fonctions d’une variable réelle, à valeurs réelles : continuité (théorème des valeurs intermédiaires, théorème du point fixe), convexité, dérivabilité (théorème de Rolle, Théorème des accroissements finis, formules de Taylor).
Position du problème
Soitf: [a, b]−→Rune fonction d’une variable réelle, à valeurs réelles. Dans tout l’exposé, on se place dans le cas oùfest une fonction strictement monotone continue et qui ∗ ∗ change de signe sur[a, b], ce qui assure qu’il existe un uniquex∈[a, b]pour lequelf(x) = 0. A l’oral : "Pour l’existence, c’est immédiat d’après le théorème des valeurs intermédiaires ; pour l’unicité, c’est immédiat car la stricte monotonie assure l’injectivité". Une méthode d’approximation d’une solution d’une équation numérique consiste à trouver un procédé ∗ pour approcherx.
2
2.1
Méthode de dichotomie
Algorithme
On posea0=aetb0=b. A l’oral : "Dans le cadre de cette leçon,f(a)etf(b)sont de signes opposés". Pourn= 0,1,2, . . . , N, faire ∗ Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
1
PLC1
Méthodes d’approximation d’une solution d’une équation numérique réelle20062007
A l’oral : "La valeur deNest à choisir en fonction de la précision voulue". an+bn On posecn+1=. 2 ∗ Sif(cn+1) = 0, alors écrire ["x="cn+1] et sortir de la boucle pour. Sif(cn+1)f(an)<0, alors on posean+1=anetbn+1=cn+1, sinon on posean+1=cn+1etbn+1=bn. A l’oral : "Ainsi,f(an+1)etf(bn+1)sont de signes opposés". Fin de la boucle pour. Ecrire [aN+1"et"aN+1"encadrent le zéro def"].
2.2 Convergence Théorème 1 Dans le cadre de la leçon, les deux suites(an)net(bn)nprécédemment définies convergent vers l’unique ∗ racinexdef.
2.3 Majoration de l’erreur Propriété 2 Dans le cadre de la leçon, on a
3
3.1
b−a b−a ∗ ∗ |an−x| ≤et|bn−x| ≤. n n 2 2
La méthode de Lagrange
Brève présentation
A l’oral : "Les segments tracés joignent le pointC(c, f(c))et le pointMn(xn, f(xn)), en passant par le pointXn+1(xn+1,0)(qui définitxn+1à partir dexn)".
5
4
3
2
1
0 4 1
2
3
4
4,1
4,2
y(x)=tan(x)x
4,3
–2/9–
4,4
4,5
4,6
Mathématiques
PLC1
3.2
Méthodes d’approximation d’une solution d’une équation numérique réelle20062007
Propriétés
A l’oral : "Le théorème suivant définit un cadre qui assure la convergence de la méthode de Lagrange et qui permet un contrôle de l’erreur". Théorème 3 2′′ Dans le cadre de la leçon, sifest de classeCsur[a, b]et sifa un signe constant sur[a, b], alors la suite(xn)ndonnée par c−xn xn+1=xn−f(xn) f(c)−f(xn) ∗ a un sens et converge vers l’unique racinexdefsi l’on prend ′ ′′ –x0=aetc=blorsquef f >0; ′ ′′ –x0=betc=alorsque<f f 0. De plus, ∗ |c−x|M2 ∗ ∗ |xn+1−x|| ≤ xn−x|, 2m1 ′ ′′ (x)|. oùm1= infx∈[a,b]|f(x)|e∈[a,b] tM2= supx|f
4
4.1
La méthode d’ajustement linéaire
Brève présentation
A l’oral : "Les segments tracés sont parallèles et joignent le pointMn(xn, f(xn))et le pointXn+1(xn+1,0) m+M (qui définitxn+1à partir dexn) ; le coefficient directeur de ces segments est ". 2
4.2
Propriétés
2,5
2
1,5
1
0,5
0 1 0,5
1
1,5
1,1
1,2
y(x)=x^32
1,3
1,4
1,5
1,6
A l’oral : "Le théorème suivant définit un cadre qui assure la convergence de la méthode d’ajustement linéaire et qui permet un contrôle de l’erreur".
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Mathématiques
PLC1
Méthodes d’approximation d’une solution d’une équation numérique réelle20062007
Théorème 4 ′ Dans le cadre de la leçon, sifest dérivable sur[a, b]et s’il existemetMtels quem≤f(x)≤M,∀x∈[a, b], alors la suite(xn)ndonnée par 1 xn+1=xn−f(xn) ω m+M∗ avecω=a un sens et converge vers l’unique racinexdefsi l’on prend 2 a+b –x0=alorsquef(a)f( )≤0; 2 a+b –x0=blorsquef(a)f( )≥0. 2 De plus, M−m ∗ ∗ |xn+1−x| ≤ | | |xn−x|. m+M | {z } <1
5
5.1
La méthode de Newton
Brève présentation
A l’oral : "Les segments tracés sont tangents à la courbe représentative def Mn(xn, f(xn))et le pointXn+1(xn+1,0)(qui définitxn+1à partir dexn)".
5.2
Propriétés
5
4
3
2
1
0 4 1
2
3
4
4,1
4,2
y(x)=tan(x)x
4,3
4,4
4,5
4,6
et joignent le point
A l’oral : "Le théorème suivant définit un cadre qui assure la convergence de la méthode de Newton et qui permet un contrôle de l’erreur".
Théorème 5 2′′ Dans le cadre de la leçon, sifest de classeCsur[a, b]et sifa un signe constant sur[a, b], alors la suite(xn)ndonnée par 1 xn+1=xn−f(xn) ′ f(xn)
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Mathématiques
PLC1
Méthodes d’approximation d’une solution d’une équation numérique réelle20062007
∗ a un sens et converge vers l’unique racinexdefsi l’on prend ′ ′′ –x0=alorsque<f f 0; ′ ′′ –x0=blorsque>f f 0. De plus, M2 ∗ ∗2 |xn+1−x|| ≤ xn−x|, 2m1 ′ ′′ oùm= inf|f(x)|etM= sup|f(x)|. 1x∈[a,b] 2x∈[a,b]
Démonstration du théorème 5 ′ ′′ On traite le cas oùf >0et oùf >0. On ax0=b. ∗ Montrons par récurrence quexn∈[bx , ]. ∗ – La propriété est vraie au rang0carx0=b∈[x , b]. ∗ – Si la propriété est vraie au rangn, on af(xn)>0(carfest strictement croissante et carf(x) = 0) et f(xn)f(xn) ′>0(carfest strictement croissante). Puis,xn+1−xn=−′<0, et donc(xn)nest une suite f(xn)f(xn) ∗ décroissante. De plus, commefest strictement convexe, on af(xn+1)>0 =f(x)(car les tangentes ∗ sont strictement endessous de la courbe représentative), puisxn+1> x(carfest croissante). ∗ La suite(xn)nest donc décroissante et minorée parx. Elle converge donc vers une limitelqui est telle f(l) ∗ quel=l−, ce qui donnef(l) = 0, puisl=x. ′ f(l) |{z} 6=0 f(x) Soitg:x∈[a, b[7→g(x) =x−′, on axn+1=g(xn). f(x)
6
∗ ′ (x−x)f(x)−f(x) ∗ g(x)−x=. ′ f(x) La formule de Taylor Lagrange appliquée àfdonne
∗2 (x−x) ∗ ∗ ′ ′′ ∃ζ∈[a, b],0 =f(x) =f(x) + (x−x)f(x) +f(ζ). 2
Puis, ∗2′′ (x−x)f(ζ) ∗ g(x)−x=. ′ 2f(x) Et enfin, ∗M2 ∗2 |g(xn)−x| ≤ |xn−x|. | {z }2m1 =xn+1 A l’oral : "On dit que la convergence de la méthode de Newton est quadratique".
Exemple numérique
46 On considère l’équationf(x) = 0oùf: [4,]−→R;x7→f(x) = tan(x)−x. On af(4)<0et 10 46 f( )>0. 10 Le graphe de la fonctionfest le suivant :
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Mathématiques
PLC1
Méthodes d’approximation d’une solution d’une équation numérique réelle20062007
5 4 3 2 1 0 4 1 2 3 4
4,1
4,2
y(x)=tan(x)x
4,3
4,4
4,5
4,6
Le tableau suivant fournit les valeurs des(xn)nprovenant des différentes méthodes.
dichotomie Lagrange ajustement linéaire x04,3000000000 4,0000000000 4,6000000000 x14,4500000000 4,2401045235 4,4932865349 x24,5250000000 4,3656609178 4,4933486683 x34,4875000000 4,4295862330 4,4933794044 x44,5062500000 4,4616762457 4,4933946020 x54,4968750000 4,4776695947 4,4934021150 x64,4921875000 4,4856117787 4,4934058286 x74,4945312500 4,4895487200 4,4934076641 x84,4933593750 4,4914985196 4,4934085713 x94,4939453125 4,4924637450 4,4934090197 x104,4936523437 4,4929414637 4,4934092413 x114,4935058593 4,4931778753 4,4934093508 A l’oral : "les chiffres exacts ont été soulignés". Pour la dichotomie, an+bn xn=. 2 Pour la méthode de Lagrange,
Newton
4,600000000000 4,545732122079 4,506145588039 4,494171630174 4,493412196821 4,493409457944 4,493409457909 4,493409457909 4,493409457909 4,493409457909 4,493409457909 4,493409457909
(4,6000000000−xn)∙(tan(xn)−xn) x0= 4,0000000000 ;xn+1=xn−. 78,5026991814−tan(xn) +xn
Pour la méthode d’ajustement linéaire,
x0= 4,6000000000 ;xn+1=xn−0,0250490807∙(tan(xn)−xn)).
Et, pour la méthode de Newton,
tan(xn)−xn x0= 4,6000000000 ;xn+1=xn−. 2 tan (xn)
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Mathématiques
PLC1
A
Méthodes d’approximation d’une solution d’une équation numérique réelle20062007
Annexe : les différents choix
Il est choisi de ne pas introduire la notion de séparation des zéros defet de poser toute la leçon dans un cadre où il est assuré que la fonctionfadmet une unique racine. Raison de ce choix : il faut faire vite pour que l’exposé tienne en 25 minutes. Il est choisi de ne pas inclure le théorème du point fixe dans la leçon, mais les trois méthodes d’ajustement linéaire, de Lagrange et de Newton sont bien entendu des méthodes de point fixe. La connaissance de la démonstration du théorème du point fixe est capitale pour cette leçon. Même raison que précédemment. Il est choisi de présenter rapidement les méthodes pour pouvoir présenter trois méthodes de point fixe. Il est choisi de ne traiter l’outil calculatrice qu’à la fin en visitant chacune des différentes méthodes. Raison de ce choix : la comparaison directe des méthodes est facilitée ; de plus, éteindre et rallumer plusueurs fois la calculatrice au cours de l’exposé nuit à sa clarté et déconcentre le candidat. Les méthodes ont été proposées de la moins performante à la plus performante. Option : présenter la leçon sans traiter la méthode d’ajustement linéaire ou la méthode de Lagrange, mais en détaillant l’utilisation de l’outil calculatrice.
B
Annexe : démonstrations laissées de côté
Démonstration du théorème 1 Par construction, on a(an)nqui est croissante,(bn)nqui est décroissante, et
limbn−an= 0. n→∞| {z } b−a = n 2
Les deux suites(an)net(bn)nsont adjacentes et convergent donc vers une même limitel. Prenons le cas oùfest strictement croissante. La limite de la suite(an)nest telle quef(l)≤0, par continuité def. De même, la limite de la suite(bn)nest telle quef(l)≥0, par continuité def. Et, il s’ensuit quef(l) = 0.
Démonstration de la propriété 2 ∗b−a C’est évident car le théorème des suites adjacentes nous fournitx∈[an, bn]avecan−bn=n. 2
Démonstration du théorème 3 ′ ′′ On traite le cas oùf >0et oùf >0. On ax0=aetc=b. ∗ Montrons par récurrence quexn∈[a, x]. ∗ – La propriété est vraie au rang0carx0=a∈[a, x].
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Mathématiques
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Méthodes d’approximation d’une solution d’une équation numérique réelle20062007
∗ – Si la propriété est vraie au rangn, on af(xn)<0(carfest strictement croissante et carf(x) = 0) et b−xnb−xn >0(carfest strictement croissante). Puis,xn+1−xn=−f(xn)>0et donc(xn)n f(b)−f(xn)f(b)−f(xn) ∗ est une suite croissante. De plus, commefest strictement convexe, on af(xn+1)<0 =f(x)(car les ∗ cordes sont strictement audessus de la courbe représentative), puisxn+1< x(carfest croissante). ∗ La suite(xn)nest donc croissante et majorée parx. Elle converge donc vers une limitelqui est telle b−l ∗ quel=l−f(l), ce qui donnef(l) = 0, puisl=x. f(b)−f(l) | {z } 6=0 xf(b)−bf(x) Soitg:x∈[a, b[7→g(x) =, on axn+1=g(xn). f(b)−f(x)
∗ ∗ On poseψ(x)=(x−x)f(b)−(b−x)f(x) z }| { ∗ ∗ (x−x)f(b)−(b−x)f(x) ∗ g(x)−x=. f(b)−f(x) 2∗ La fonctionψest de classeCsur[a, b]etψ(x) =ψ(b) = 0. ∗ (t−x)(t−b) ∗ Pourx∈[a, b[fixé tel quex6=x, on poseΨ :t∈[a, b]7→Ψ(t) =ψ(t)−ψ(x)∗. La fonctionΨ (x−x)(x−b) 2∗ est de classeCsur[a, b]etΨ(x) = Ψ(x) = Ψ(b) = 0. ψ(x) ′′1′′ Donc, par le théorème de Rolle itéré, il existeζ∈]a, b[tel queΨ (ζ) = 0. Puis,∗=ψ(ζ) = (x−x)(x−b) 2 1∗ ′′ −(b−x)f(ζ). 2 ∗ (b−x)(b−x) ∗ Donc,|ψ(x)| ≤M2|x−x|. 2 ∗ Et, comme|f(b)−f(x)| ≥m1|b−x|, on obtient pourx∈[a, b[fixé tel quex6=x, ∗ b−x M2∗ ∗ |g(x)−x|| ≤ x−x|, 2m1 ∗ et cette inégalité demeure lorsquex=x.
Démonstration du théorème 4 metMsont de même signe carfest strictement monotone. 1 Soitg:x∈[a, b]7→g(x) =x−f(x). ω Montrons quegadmet un point fixe. ′1′ On ag(x) = 1−f(x),∀x∈[a, b]. ω m−M M−m ′ ′ Puis,g(x)∈[,],∀x∈[a, b], et−1<−α≤g(x)≤α <1, ce qui induit quegest m+M m+M | {z } | {z } =−α=α contractante. a+b a+b∗ Supposons quefchange de signe entreaAlorset . [a,]contient l’unique racinexdef, puis 2 2 ∗ ∗ [a,2x−a]⊂[a, b]et[a,2x−a]est stable pargcar M−m ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ |g(x)−x|=|g(x)−g(x)| ≤ | | |x−x| ≤ |a−x|=x−a. m+M | {z } <1
a+b∗ Donc, sifchange de signe entreaon poseet , x0=aetxn+1=g(xn)qui converge versxtel que 2 ∗ ∗ ∗ g(x) =xouf(x) = 0.
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Mathématiques
