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- leçon - matière potentielle : oral
- ǫfg
- propriétés relatives aux limites
- propriétés algébriques
- xn ∈
- l−
- aires dans le cerlce trigonométrique
- xn −
- démonstration du théorème
- limite finie
- limite
- limites
Leçon d’oral 1. Limite finie d’une fonction à valeurs réelles en un pointa deR. Opérations algébriques sur les limites. Continuité d’une fonction en un pointadeR. Exemples.
1
∗ Denis Vekemans
17 mai 2006
Prérequis – Suites réelles : convergence. – Topologie : point adhérent à un ensemble. – Fonctions d’une variable réelle, à valeurs réelles : ensemble de définition, opérations algébriques, res triction de fonctions, exemples de fonctions (fonctions polynômes, fonctions rationnelles, fonctions circulaires). Cadre général Toutes les fonctions considérées dans cette leçon sont fonctions d’une variable réelle, à valeurs réelles. Notation 1. Dans toute la leçon, et pour toute fonctionw,Dwdésigne son domaine de définition. 2.V(x, y) =]x−y, x+y[.
1.1
Limite finie d’une fonction à valeurs réelles en un pointadeR.
Définition et propriétés –limite–.
A l’oral : "On ne saurait parler de limite enasian’est pas un point adhérent àDf. C’est pourquoi ..." On impose n o \ ∀ǫ >0,cardxtel quex∈DfV(a, ǫ) =∞,(1) (pour pouvoir parler de limite enapourf). Remarque : "an’appartient pas forcément àDf, mais il est adhérent àDf". Si∃l∈Rtel que
∀ǫ >0,∃η >0,tel que∀x∈Df,|x−a|< η=⇒ |f(x)−l|< ǫ, ∗ Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
1
PLC1
on dit quefadmetlpour limite ena.
Oral 1
Théorème 1.1.1 Unicité de la limite. Sous la condition (1), sifadmet une limite en un pointa, elle est unique. De plus, sifest définie ena,l=f(a).
20042005
Remarque : Sous la condition (1), sifadmet une limitelen un pointa, on peut noterl= limf(x). x→a Exemples : n n 1.∀n∈N,∀a∈R,limx=a. x→a √ √ + 2.∀a∈R,limx=a. x→a Contreexemple : – La fonctionfdéfinie par f:R→R ( 0six6= 0, x7→f(x) = 1six= 0
n’admet pas de limite en0.
Théorème 1.1.2 Critère séquentiel. Sous la condition (1), sifadmetlpour limite enaet si la suite(xn)est une suite deDfconvergeant versa, alors la suite(f(xn))converge versl. Réciproquement, si pour toute suite(xn)deDfconvergeant versa, la suite(f(xn))converge versl, alorsfadmetlpour limite ena.
Contreexemple : la fonctionfdéfinie par :
n’admet pas de limite finie en0.
1.2
f:
+ R→R , 1 x7→f(x)) = cos( x
Définition et propriétés –limite à gauche, limite à droite–.
A gauche On impose
n o \ \ ∀ǫ >0,cardxtel quex∈Df]− ∞, a]V(a, ǫ) =∞,
(2)
(pour pouvoir parler de limite ena, à gauche, pourf). T Sif|D]−∞,a]admet une limitel−ena, on dit quefadmetl−pour limite à gauche ena(on note f limf(x) =l−). x→a, x≤a A droite On impose n o \ \ ∀ǫ >0,cardxtel quex∈Df[a,∞[V(a, ǫ) =∞,(3)
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Mathématiques
PLC1
Oral 1
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(pour pouvoir parler de limite ena, à droite, pourf). T S admet our limite à droite ena(on note if|Df[a,∞[une limitel+ena, on dit quefadmetl+p limf(x) =l+). x→a, x≥a
Théorème 1.2.1 Sous la condition (2), sifadmetlpour limite à gauche enaet sous la condition (3), sifadmetlpour limite à droite ena, alorsfadmetlpour limite ena.
2
Remarques : – Sous la condition (2) et sous la condition (3), la condition (1) est satisfaite. – La réciproque est fausse car la fonctionfdéfinie par :
f:
+∗ R→R , x7→f(x) = 0
admet0comme limite en0, admet également0comme limite à droite en0mais n’admet pas de limite − à gauche en0car non définie surR. Sous la condition (1), la condition (2) ou la condition (3) est satisfaite, mais pas forcément les deux.
Propriétés algébriques, comparaison, et composition sur les limites.
2.1 Propriétés algébriques. Théorème 2.1.1 Propriétés algébriques. On impose n o \ \ ∀ǫ >0,cardxtel quex∈DfDgV(a, ǫ) =∞, \ (pour pouvoir parler de limite enapourfet pourgsurDfDg). \ \ Sifadmetlfpour limite enasurDfDget sigadmetlgpour limite enasurDfDg, \ 1.f+gest définie surDf+g=DfDgetf+gadmet une limite enaqui estlf+lg. \ 2.f gest définie surDf g=DfDgetf gadmet une limite enaqui estlflg. 1 1 3. et si, de plus,lf6= 0, alors admet une limite ena.qui est f lf Démonstration pour le produit On a ∀ǫ >0,∃ηf>0,tel que∀x∈Df,|x−a|< ηf=⇒ |f(x)−lf|< ǫ,
et
∀ǫ >0,∃ηg>0,tel que∀x∈Dg,|x−a|< ηg=⇒ |g(x)−lg|< ǫ,
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(4)
Mathématiques
PLC1
et donc, avecǫf g=ǫ(ǫ+|lf|+|lg|),
=⇒
Oral 1
∀ǫf g>0,∃η= inf(ηf, ηg)>0,tel que∀x∈Df g,|x−a|< η |f g(x)−lflg| ≤ |f g(x)−lfg(x)|+|lfg(x)−lflg| =|f(x)−lf||g(x)|+|lf||g(x)−lg| ≤ |f(x)−lf|(|g(x)−lg|+|lg|) +|lf||g(x)−lg| < ǫ(ǫ+|lg|) +ǫ|lf|=ǫf g
Démonstration pour l’inverse
∀ǫf>0,∃ηf>0,tel que∀x∈Df,|x−a|< ηf=⇒ |f(x)−lf|< ǫf. |lf| Donc, en prenantǫf=, 2 ∃η >0,tel que∀x∈Df, |lf| |x−a|< η=⇒sup(|f(x)| − |lf|,|lf| − |f(x)|)≤ |f(x)−lf|< 2 |lf| =⇒<|f(x)|. 2 2ǫf Ensuite, en posantǫ=, 1 2 l f f
Exemples :
|x−a|< η1 f
=⇒
∀ǫ >0,∃η= inf(ηf, η)>0,tel que∀x∈Df, 1 1 f f 1 1|f(x)−lf|2ǫf | − |=<=ǫ1. 2 f(x)lf|lff(x)|l f f
1. Les fonctions polynômes admettent une limite en tout pointadeR.
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2. Les fonctions rationnelles admettent une limite en tout pointade leur ensemble de définition.
D’après l’exemple 1 de la section 1.2 et d’après le théorème 2.1.1, les exemples 1 et 2 se traitent aisément (laissé en exercice au lecteur).
2.2 Comparaison. Théorème 2.2.1 Comparaison. On impose n o \ \ ∀ǫ >0,cardxtel quex∈DfDgV(a, ǫ) =∞, \ (pour pouvoir parler de limite enapourfet pourgsurDfDg).
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(5)
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Oral 1
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\ \ On suppose quefadmetlfpour limite enasurDfDget quegadmetlgpour limite enasurDfDg. \ On suppose encore quef≤gsurDfDg. Dans ces conditions,lf≤lg.
Théorème 2.2.2 Théorème des gendarmes. On impose n o \ \ ∀ǫ >0,cardxtel quex∈DfDgV(a, ǫ) =∞, \ (pour pouvoir parler de limite enapourfet pourgsurDfDg). \ On suppose quefadmet0pour limite enasurDfDg. \ On suppose encore que0≤g≤fsurDfDg. \ Dans ces conditions,gadmet0pour limite enasurDfDg.
(6)
Exemple : lim sin(x) = 0. x→0 L’exemple est traité aisément en utilisant0≤ |sin(x)| ≤ |x|, ce qui se démontre en utilisant les aires dans le cerlce trigonométrique (laissé en exercice au lecteur).
2.3 Composition. Théorème 2.3.1 Composition. On impose
n o \ ∀ǫ >0,cardxtel quex∈DfV(a, ǫ) =∞,
(7)
(pour pouvoir parler de limite enapourf). On suppose quefadmetlpour limite ena. On se restreint au cas où il existe un ensembleE⊂Dftel queasoit adhérent àEet tel quef(E)⊂Du (A l’oral : "Donc,lest adhérent àf(E), d’après le théorème 1.1.2".) et tel que n o \ ∀ǫ >0,cardf(x)tel quef(x)∈DuV(l, ǫ) =∞,(8)
(pour pouvoir parler de limite enlpouru). On suppose queuadmetLpour limite enl. Dans ces conditions,u◦fadmetLpour limite enasurE.
Exemples :
1.lim cos(x) = 1. x→0 2. Les fonctions circulairessinetcosadmettent une limite en tout pointadeR.
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Mathématiques
PLC1
3
3.1
Oral 1
Continuité d’une fonction à valeurs réelles en un pointadeR.
Définition et propriétés –continuité–.
On se restreint au cas oùa∈Df. On impose n o \ ∀ǫ >0,cardxtel quex∈DfV(a, ǫ) =∞,
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(9)
(pour pouvoir parler de limite enapourf). A l’oral : "Il s’agit du même cadre que celui qu’on avait décrit pour traiter la notion de limite, mais cette fois, le pointaappartient àDf". Sifadmetlpour limite ena, on dit quefest continue ena. Cette limite est alorsl=f(a), d’après le théorème 1.1.1. A l’oral : "Il faut absolument se détacher de l’idée intuitive qui dit : lorsqu’une fonction est continue (localement), sa représentation graphique peut être réalisée (localement) sans lever le crayon. En effet, la fonctionfdéfinie par : f:R→R ( 1∗ 0six∈/{, n∈N}, n x7→f(x) = 1∗ xsix∈ {, n∈N} n est continue en0".
3.2
Définition et propriétés –continuité à gauche, continuité à droite–.
A gauche On se restreint au cas oùa∈Df. On impose n o \ \ ∀ǫ >0,cardxtel quex∈Df]− ∞, a]V(a, ǫ) =∞,
(pour pouvoir parler de limite ena, à gauche, pourf). Sifadmet une limite à gauche ena, on dit quefest continue à gauche ena. A droite On se restreint au cas oùa∈Df. On impose n o \ \ ∀ǫ >0,cardxtel quex∈Df[a,∞[V(a, ǫ) =∞,
(pour pouvoir parler de limite ena, à droite, pourf). Sifadmet une limite à droite ena, on dit quefest continue à droite ena.
(10)
(11)
Théorème 3.2.1 Sous la condition (10), sifest continue à gauche enaet sous la condition (11), sifest continue à droite en a, alorsfest continue ena.
Remarques : – Sous la condition (10) et sous la condition (11), la condition (9) est satisfaite.
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– La réciproque est fausse.
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Propriétés relatives à la continuité.
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Les propriétés relatives aux limites en un pointase transportent facilement pour déduire des propriétés relatives à la continuité en un pointa. Il ressort en particulier les résultats évidents suivants :
5
1. Les fonctions polynômes sont continues en tout pointadeR. 2. Les fonctions rationnelles sont continues en tout pointade leur ensemble de définition. 3. Les fonctions circulairessinetcossont continues en tout pointadeR.
Prolongement par continuité
On se restreint au cas oùfn’est pas définie ena. Lorsquefadmet une limitelena, on peut définir la fonctionfpar : S f:Df{a} →R ( f(x)pourx∈Df. x7→f(x) =, lpourx=a
La fonctionfainsi définie est appelée le prolongement par continuité defena. Annexe : Démonstrations laissées de côté ... Exemples de la section 1.1. Exemple 1 : n−1 On prendǫ=η n(|a|+η). Alors,∀ǫ >0,∃η >0,tel que∀x∈Df,
|x−a|< η
=⇒
=⇒ =⇒
n n n−1n−2n−2n−1 |x−a|=|x−a||x+ax+. . .+a x+a| n−1n−2n−2n−1 < η|x+ax+. . .+a x+a| n n n−1n−2n−2n−1 |x−a|< η|x|+|a||x|+. . .+|a| |x|+|a| n n n−1 |x−a|n< η (|a|+η) =ǫ.
Exemple 2 : Premier cas :a6= 0. η On prendǫ=. √ a Alors,∀ǫ >0,∃η >0,tel que∀x∈Df,
|x−a|< η
=⇒ =⇒
√ √ √ √ |x−a||x+a|< η √ √η η |x−a|<√ √<√=ǫ. |x+a|a
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Mathématiques
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Second cas :a= 0. √ On prendǫ=η. ∀ǫ >0,∃η >0,tel que∀x∈Df,
Contreexemple. C’est immédiat.
|x|< η
Oral 1
=⇒
√ √ |x|< η=ǫ.
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Démonstration du théorème 1.1.1. Sifadmet deux limites distinctesl1etl2, alors, ∀ǫ >0,∃η1>0,tel que∀x∈Df,|x−a|< η1=⇒ |f(x)−l1|< ǫ,et ∀ǫ >0,∃η2>0,tel que∀x∈Df,|x−a|< η2=⇒ |f(x)−l2|< ǫ. Ainsi,∀ǫ >0,∃η= inf(η1, η2)>0,tel que∀x∈Df,|x−a|< η=⇒06=|l1−l2| ≤ |f(x)−l1|+|f(x)− l2|<2ǫ. |l1−l2| Cependant, ceci doit être vrai pour toutǫ, mais c’est faux pourǫ=6= 0(par exemple). 3 Par l’absurde, il est montré que la limite est unique lorsqu’elle est définie.
Sifadmetlpour limite et sifest définie enatel quef(a)6=l, alors ∀ǫ >0,∃η >0,tel que∀x∈Df,|x−a|< η=⇒ |f(x)−l|< ǫ. Cependant, ceci doit être vrai pour toutx∈Dftel que|x−a|< ηet pour toutǫ, mais c’est faux pour |f(a)−l| x=aetǫ=6= 0(par exemple). 2 Par l’absurde, il est montré que sifadmetlpour limite enaen étant définie ena, alorsf(a) =l.
Démonstration du théorème 1.1.2. Sifadmetlpour limite ena, alors ∀ǫ >0,∃η >0,tel que∀x∈Df,|x−a|< η=⇒ |f(x)−l|< ǫ. Si la suite(xn)(avecxn∈Df) converge versa, alors ∀ǫx>0,∃N∈N,tel que∀n > N,|xn−a|< ǫx. Par conséquent, en prenantǫx=η, ∀ǫ >0,∃η >0et∃N∈N,tels que∀n > N,|xn−a|< ǫx=η=⇒ |f(xn)−l|< ǫ, puis∀ǫ >0,∃N∈N,tel que∀n > N,|f(xn)−l|< ǫ, ce qui signifie que la suitef(xn)converge versl.
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