BTS Electrotechnique Cours de Mathématiques
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BTS Electrotechnique Cours de Mathématiques
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BTS
Cours
Electrotechnique
de Mathématiques
François THIRIOUX
francois.thirioux@ac-grenoble.fr
Lycée
René Perrin, Ugine
Mai 2003
Table des matières
Présentation du programme
1 Préliminaires 1.1 Dénitions préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Sommations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Rappels sur les nombres complexes et la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Intégration 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Dénition de lintégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Méthodes dintégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Séries numériques 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Dénition dune série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 1 1 1 2 3 3 3 5 6 6 7
8 8 8 9 10 11 11 12 12
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TABLE DES MATIÈRES
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3.1.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Séries à termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séries de Fourier 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Joseph Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Coe¢ cients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Formes exponentielle et réelle ; somme de Fourier . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Propriétés des coe¢ cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Egalité de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Sommes de Fourier de signaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Signal en créneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Signal en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equations di¤érentielles 5.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Equations di¤érentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Dénitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Résolution de léquation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Recherche dune solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 5.2.4 Utilisation dune condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equations di¤érentielles linéaires du second ordre à coe¢ cients constants . . . . 5.3.1 Dénitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Résolution de léquation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Recherche dune solution particulière et solution générale . . . . . . . . .
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14 14 15 15 15 15 15 16
17 17 17 17 18 18 21 23 23 24 24 25 26
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TABLE DES MATIÈRES
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5.3.4 Utilisation dune condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Développements limités 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformation de Laplace 7.1 Introduction et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Pierre Simon de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Transformée de Laplace dune fonction causale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Résultats essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Transformées fondamentales usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Théorèmes complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Applications à lanalyse du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Transformée inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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38 38 38 38 39 39 39 40 41 41 41 41 42 42 42 42 42 43 43
44 44 44 44 45 45 46 46 46 47 49 51 53 53
TABLE DES MATIÈRES
7.3.2 Equations di¤érentielles linéaires à coe¢ 7.3.3 Circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Systèmes di¤érentiels linéaires . . . . .
Bibliographie
cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Présentation du programme
Ce cours traitegrosso modoitems suivants composant le programme :des
1. Nombres complexes 2. 2. Suites numériques 2. 3. Fonctions dune variable réelle. 4. Calcul di¤érentiel et intégral 3. 5. Séries numériques et séries de Fourier. 6. Transformation de Laplace 7. Transformation enz. 8. Equations di¤érentielles. 9. Fonctions de deux ou trois variables. 10. Calcul matriciel. 11. Calcul des probabilités 1. 12. Calcul vectoriel.
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