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Éléments de géométrie Arnaud Bodin, avril 2012 L'inversion 1 Cercle-droite 1 2 L'inversion 2 3 Les homographies 6 4 Dispositifs mécaniques 8 5 Construction au compas seulement 9 1 Cercle-droite 1.1 Équation complexe d'une droite Soit ax+ by = c l'équation réelle d'une droite D : a, b, c sont des nombres réels (a et b n'étant pas nuls en même temps) d'inconnues (x, y) ? R2. Écrivons z = x+ iy ? C, alors x = z+ z¯ 2 , y = z? z¯ 2i , donc D a aussi pour équation a(z + z¯) ? ib(z ? z¯) = 2c ou encore (a ? ib)z + (a + ib)z¯ = 2c. Posons ? = a+ ib ? C? et k = 2c ? R alors nous obtenons i 0 1 D l'équation complexe d'une droite est : ?¯z+?z¯ = k où ? ? C? et k ? R. 1.2 Équation complexe d'un cercle Soit C(?, r) le cercle de centre ? et de rayon r. C'est l'ensemble des points M tel que d(?,M) = r. Si l'on note ? l'affixe de ? et z l'affixe de M. Nous obtenons : d(?,M) = r ?? |z??| = r ?? |z??|2 = r2 ??

z?? pour z ?

cercle passant par ?

cercle

inversion

?¯z ?

ecriture complexe

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Français

ElÈments de gÈomÈtrie

Cercle-droite

L’inversion

Arnaud Bodin, avril 2012

1.1 Èquation complexe d’une droite Soit ax+by=c l’quation relle d’une droiteD:a, b, csont des nombres rels (aetbn’tant pas nuls en 2 mme temps) d’inconnues(x, y)∈R. Ècrivonsz=x+iy∈C, alors z+zz−z x=, y=, 2 2i doncDa aussi pour quationa(z+z) −ib(z−z) =2cou encore(a−ib)z+ (a+ib)z=2c. ∗ Posonsω=a+ib∈Cetk=2c∈Ralors nous obtenons l’Équation complexed’une droite est : ωz+ωz=k ∗ oÙω∈Cetk∈R.

1.2 Èquation complexe d’un cercle SoitC(Ω, r)le cercle de centreΩet de rayonr. C’est l’ensemble des pointsMtel que d(Ω, M) =r. Si l’on noteωl’afﬁxe deΩetzl’afﬁxe deM. Nous obtenons :