Applications lineaires compactes

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Chapitre 5 Operateurs compacts 5.1 Applications lineaires compactes Definition 5.1.1 Soient E et F deux espaces de Banach ; une application lineaire continue T ? L(E,F ) est dite compacte si l'image T (BE) par l'application T de la boule unite fermee BE de l'espace E est relativement compacte (en norme) dans F . On note K(E,F ) l'ensemble des applications lineaires compactes de E dans F . On pose K(E) = K(E,E). La proposition suivante donne des proprietes fondamentales de stabilite des operateurs compacts. Proposition 5.1.1 Soient E et F deux espaces de Banach ; l'ensemble K(E,F ) est un sous-espace vectoriel ferme de L(E,F ). Soient E,F et G des espaces de Banach, S ? L(E,F ) et T ? L(F,G) ; si S ou T est compacte alors TS est compacte. En particulier, K(E) est un ideal bilatere de L(E). Preuve : Il est clair que si T ? K(E,F ) et ? ? K, alors ?T ? K(E,F ). Soient maintenant T1 et T2 deux applications lineaires compactes de E dans F , et considerons les ensembles A1 = T1(BE), A2 = T2(BE) et A = (T1 + T2)(BE) ; il est clair que A est contenu dans A1 + A2, donc il est relativement com- pact d'

operateurs compacts

espace de banach

donne des proprietes fondamentales de stabilite des operateurs compacts

theoreme

lineaire continue de rang fini

projecteur continu

base duale pour le dual l?

applica- tion lineaire

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Chapitre

Op´rateurs

5.1

compacts

Applications lin´aires compactes

D´ﬁnition 5.1.1SoientEetFdeux espaces de Banach; une application lin´aire
continueT∈ L(E, F)est ditecompactesi l’imageT(BE)par l’applicationTde
la boule unit´ ferm´eBEde l’espaceEestrelativement compacte(en norme)
dansF. On noteK(E, F)l’ensemble des applications lin´aires compactes deE
dansF. On poseK(E) =K(E, E).

La proposition suivante donne des propri´t´s fondamentales de stabilit´ des op´rateurs
compacts.

Proposition 5.1.1SoientEetFdeux espaces de Banach; l’ensembleK(E, F)
est un sous-espace vectoriel ferm´ deL(E, F). SoientE, FetGdes espaces de
Banach,S∈ L(E, F)etT∈ L(F, G); siSouTest compacte alorsT Sest
compacte. En particulier,K(E)est un id´al bilat`re deL(E).

Preuve :Il est clair que siT∈ K(E, F) etλ∈K, alorsλT∈ K(E, F).
Soient maintenantT1etT2deux applications lin´aires compactes deEdansF,
et consid´rons les ensemblesA1=T1(BE), A2=T2(BE) etA= (T1+T2)(BE) ;
il est clair que A est contenu dansA1+A2, donc il est relativement
compact d’apr`s une proposition des pr´requis sur le compacts. Ceci montre que
K(E, F) est un sous-espace vectoriel deL(E, F). Supposons queT∈ L(E, F)

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