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Ann. Inst. Fourier, Grenoble 50, 5 (2000), 1445–1504. Sur certaines equations fonctionnelles arithmetiques R. de la Breteche & G. Tenenbaum Sommaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Equations fonctionnelles approchees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Valeur moyenne du produit de convolution de deux fonctions arithmetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5 Moments des fonctions de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Voir
- specifiques des arbres
- mono-numerique ?? des structures chimiques
- evaluation de d12
- espace fonctionnel
- constante convenable
- moment
Ann. Inst. Fourier, Grenoble 50, 5 (2000), 1445–1504.
Sur certaines ´equations fonctionnelles arithm´etiques
R.delaBrete`che&G.Tenenbaum
Sommaire 1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 2anriilimrPe´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ´ 3Equations fonctionnelles approch´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 4moyenne du produit de convolution de deux fonctionsValeur arithme´tiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5Moments des fonctions deE. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 28 5.1Valeursmoyennes:preuveduTh´eor`eme1.2(i). . . . . . . .28 5.2Valeursmoyennes:preuveduTh´eor`eme1.3. . . . . . . . . .29 ´ 5.3Ecartquadratiquemoyen:preuveduTh´eore`me1.2(ii)30 5.4PreuveduTh´eor`eme1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 6csnerte´oMemtnsd’ordrekero.1emudeve´hTii2(33i)3:preu ` 7Valeur moyenne de certaines fonctions multiplicatives : preuve dTh´e`me1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 u eor 7.1 M´thode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 e 7.2Re´ductionpr´eliminaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 ´ 7.3 Evaluation deD11(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 ´ 7.4 Evaluation deD12(t). . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 47 ´ 7.5 Evaluation deD13(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 7.6 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 8Fonction de r´epartition def0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
Mots-clefs-tiulsmueiqmhtiite´oitcrasnon:Firht´mtecnitnoastives;foquesaddi plicatives ; fonction de Gutman–Ivi´c–Matula ; graphes ; r´epartition des nombres premiers;´equationsfonctionnellesapproch´ees;ine´galite´deBerry–Esseen;trans-forme´edeFourier–Stieltjes;fonctionscaract´eristiques. Classification math.: 11N37, 05C35, 05C90, 11N60, 11N64.
2R. de la Breteche et G. Tenenbaum ` 1. Introduction Cetarticleapourobjetl’´etudedespropri´et´esdere´gularit´edese´le´ments d’une certaine classe de fonctions arithm´etiques compl`etement additives, dont la fonction de Gutman–Ivi´c–Matula,(1),eilstettrvaravitoone´qmaiu le prototype. Elle est d´efinie comme l’unique fonction compl`etement additive ´erifiantlarelation v (1·1)f(pk) = 1 +f(k) (k1), oupkde´isngleekrembnomer.ieemprrrevsuoNlsulpsnoommeoincnti-e` ` cette´etudepeutˆetreplong´eedanslaproble´matiqueg´en´eraledeladescrip-tion d’une fonction arithm´etique additive ou multiplicative pour laquelle f(pkile`e´ugeredenfsounfficsttiunoen)tresammf(k). La fonctiongimonosevuoadenigirtrnoamhte´amituqensunemod´elisati utilise´eenchimieorganiqueetintroduiteparMatulaen1968[M68]. Lesmole´culesd’alcanesnon-cycliques´etantrepre´sentablespardesarbres, Matulade´finitunecorrespondancebijectiveM:A →N∗de l’ensemble des arbres dans celui des entiers naturels. Sa construction est r´ecursive : l’arbre trivialT1compos´e d’un seul sommet a pour imageM(T11=)rerbnaau;` ge´n´eriqueAmrnie´etd,-arbsousrles´epaserA1, . . . , Akissus de sa racine, on associe ensuite le nombreM(A) =kj=1pmjo`ulesmjsont d´efinis parM(Aj) =mj(1jk).Ainsi, l’unique arbreT2compos´e de deux sommets satisfait-ilM(T2) =p1= 2 alors que l’arbreT3e´sopmocedrtios sommets align´es est tel queM(T3) =p2= 3 et que l’arbreT3deeom,cs´po trois sommets en triangle, v´erifieM(T3) =p12= 4. Comme le note Matula [M68], on peut repr´esenter par un arbreAtoute mol´eculed’alcaneαontidionac,`ueiqalae´rprisiohcednentublemnnoyclc atome de carbone particulier. L’applicationα→M(Aetlaros)rr´epenes un codage des mol´ecules d’alcanes par des nombres entiers. Elk [E89], [E90] a ´etendu ce type de repr´esentationmono-num´eriquedes structures chimiquesa`unevasteclassedecompos´esorganiques.GutmanetYeh ontmontre´dans[GY93]commentl’onpeutd´eduirecertainespropri´et´es spe´cifiquesdesarbres`apartirdeleurnombredeMatula.Lelecteurtrouvera dans l’article de Gutman et Ivi´c [GI96] un survol de l’histoire et des progr`es re´centsdelathe´oriedesnombresdeMatula. Gutman,Ivic´etElk[GIE93]ontrenouvel´el’e´tudedecettecorrespondance en introduisant formellement l’application qui `aM(A) associe le nombre N(α) de carbones deα, mettant ainsi en ´evidence la fonctiongim, qui satisfaitN(α) = 1 +f(M(Anodttaltse`rpmisd´leniefiontiecr´evruis))e (1·utman[GI94],GeuqesnitnusnaD.ulilvaraurieert´tovi1m)nt´eel’iintrrˆet ` etIvic´onte´tablil’encadrementessentiellementoptimal(2) lloogg2nnf(n)olgol5g3n(n7), 1.Cettefonctionestd´esigne´edanslasuitesouslenomdefonctionGIM. 2. Ici et dans la suite, nous d´esignons par log2oinnotcert´eiemafeled´e`ixuedal logarithme.
Sur certaines ´equations fonctionnelles arithm´etiques3 o`ulesbornesconstituentlesordresextr´emauxdef— autrement dit, il existe une infinit´e d’entiersnpour lesquels elles sont asymptotiquement atteintes. Nous introduisons un espace fonctionnel qui contient simultan´ement la fonctiongimet la fonction logarithme. Pour (a, b)∈R2, nous d´esignons par E(a, bsxe`svalauesrocpmelonsarithm´etiquealcadessofseitcn)lFqui sont comple`tementadditivesetsatisfont`a (1·2)rk=rk(F) :=F(pk)−F(k)−blog2k−ka2) log2k/logk(.(3) Ilesta`noter,entouteg´en´eralit´e,qu’unefonctioncompl`etementadditive Fesdoparlesdunn´eeronbmsetnet´etdiefineri`enemF(2) et de la suite {rk(F)}k∞=2. La fonctiongimtl’unique´el´emetnsefdeE(1,0) tel que f(2) = 1 etrk(f) = 0 pour toutkduntmeetaide´mmieluoce.2´dlI th´eor`emedesnombrespremiersquelelogarithmeappartient`aE(0,1). La classeE:=∪a,bE(a, b) est un espace vectoriel dont la fonction logarithmeest,enuncertainsens,un´el´ementmaximal:onaF(n)logn pour toute fonctionFdeE— cf. Lemme 2.1infra. Unefamilleremarquabled’´el´ementsdeEest constitu´ee par la suite {ϕj}j∈N∗des fonctions deE(0,ar0d)eipse´nfi (1·3)ϕj(2) :=δ1j, rk(ϕj) :=δkj(j1, k2), o`uδkj´edre.reLonbmrKnoceekymboledesignelesϕj(nodetcnr´epenes)r le nombre de sous-arbres cod´es parjapparaissant dans l’arbre cod´e parn. Ainsi,ϕ1(n´dperae´d)bmoneleruefsleilelsdrb’acoren. Nous remarquons que{ϕj}j∈N∗est une famille totale deEanp,luo’uoetuotr,o`nsseau fonctionF∈E, ∞ F(n) =F(pj)−F(j)ϕj(n) (n∈N). j=1 Re´ciproquement,unes´erieformellej∞=1αjϕjunitfin´ededtneme´le´E(a, b) si, et seulement si, l’on a αj=a+blog2j+O(log2j/logj) (j2). La fonctiongim, par exemple, v´erifief=j1ϕj. Lame´thodequenousd´evelopponspour´evaluerlesmomentsdes´el´ements deEuqceitnoreavo’sbsurld´eetfonesoitauqe´sedtnofstisaest´tianquesns 3. Ici et dans tout l’article la notation de Vinogradovfgyolppreueo´emets signifier que|f|C|g|pour une constante convenableC, qui peut ˆetre absolue ou de´pendredecertainsparam`etres—auquelcaslad´ependancepourraˆetreindiq´ uee en indice. La notationfgsignifie quefgetgfont lieu simultan´ement.
4deR.Brla`eeteehcT.Gtnenemuab fonctionnellesapproch´ees.Nouse´tablissons`aceteffet,auThe´ore`me1.1, unr´esultatge´n´eraldenaturetaub´erienne,posse´dantuninte´rˆetintrins`eque d´epassantlargementlecadredel’´etudedel’espaceE. Nous obtenons une formule asymptotique pour la valeur moyenne d’une fonction arithm´etique quelconquegen fonction de la quantit´e (1·4)R(x;g) :=x1xg(n)−1xpkxg(k)xpk n sous la seule hypoth`ese que l’on a, pour une constante convenableα >0, (1·5)g(n)(logn)α. SoitVl’ensemble des fonctionsU: [1,∞[→Reenbion´orva`aatriiuqtnos sur tout intervalle born´e. Nous d´efinissons deux transformations surVpar les formules U(t) (1·6)U†(x) :=1sutpx|U(t)|,TU(x) :=U(e) +ame(xe,x)glodt , et nous posons, sous r´eserve d’existence, U(x) :=U(x)−lim+U(x),u`o’dTU(x) =−ma∞x(x,e)dolU(gtt). x→ ∞ Uneinte´grationparpartiespermetd’´ecrire (1·7)TU(x l) =U(goxx)+ext(lUog(tt))2dt(xe). ` Afinsder´efe´rencesult´erieures,nousobservonsd`esa`pre´sentqu’une condition suffisante pour queTU(x)ocvnreega`inl’iefin:st (1·8) ete∞t(lUgo(tt))2dtconverge. U(x) =o(logx) Dans ce cas, on a (1·9)TU(x l) =Ugo(xx)−x∞t(lU(ogtt))2dt(xe). Nous posons, pour toute fonction arithm´etiqueget tout entierk1, (1·10)Mk(x;g) =g(n)k. 1nx Nousetablissonslere´sultatsuivant. ´ Th´ ` e 1.1.Soitgnofenuetiqthm´narictio1na(trefiieu´v·5). eorem (i)SiTR(x;g)tend vers une limite finie lorsquex→ ∞, il existe une constanteΦ1(g)telle que (1·11)M1(x;g) =xlog(xlogx)Φ1(g) +TR(x;g) +Oε(xlolog)xg2x avecε(x) := supt√xTR(t;g)+ 1/logx=o(1).
Surcertainese´quationsfonctionnellesarithm´etiques5 (ii)SiTR(x;g)ne poss`ede pas de limite finie lorsquex→ ∞et si (1·12)e∞R†(t;gl)goolg2tt)3dt t(<∞, il existe une constanteK=K(g)telle que (1·13) M1(x;g) =xlogxTR(x;g) +K+O e∞tR(l†(ogt;gt)2)oglolg2((xx++tt)d)t. (iii)SiTR(x;g)eposndiefinanquiledetimde`ssapex→ ∞et si og2t (1·14)xl→im+∞exR†(t;g)tg(lolt)3dt=∞, on a 2 (1·15)M1(x;g) =xlogxTR(x;g) +O exR†(t;g)tgolgol(2tt)3dt. Une simple application du th´ `em de Lebesgue permet de montrer eor e que, sous l’hypoth`ese (1·12), le terme d’erreur de (1·13) tend vers 0 lorsque x→ ∞. On remarque que celui de (1·essatelrtueppe´dpacilmeerinpr15) lorsqueR(x;getna.sosellices)r`tt Ainsiquenousl’avonsmentionn´eplushaut,leThe´ore`me1.1constitue l’outilessentieldenotrem´ethodeite´rativepourestimerlamoyenneet, plusge´n´eralement,touslesmomentscentr´esd’unefonctiondeE. Ces re´sultatssonte´tablisauxparagraphes5et6.Lad´emonstrationreposede i`erefondamentalesurl’observationque,pourchaqueentierk1, la man quantite´R(x;fkpaiefin´e)d1(r·vela´ueesamytptoiquementd`es´erteˆtuep)4 que l’on dispose d’approximations convenables pour les moments d’ordres strictementinfe´rieursa`k. Une telle estimation, facile lorsquek= 1, est obtenuedanslecasg´ene´ralaumoyend’uner´ecurrencesimpledansson principe mais dont la mise en œuvre est passablement technique. LeThe´or`eme1.1(i)impliquel’existenced’uneconstanteΦ1(f) telle que M1(x;f) = Φ1(f)xlogx+O(xlog2x) (f∈E). Cette premi`ere estimation permet d’op´erer un recentrage defdansE. Nous posonsa`ceteffet (1·16)f0=f−Φ1(f) log. Nouse´valuonsensuitelesmomentscentr´esMk(x;f0)/xd’ordre arbitrairek. Nousobtenonsl´sultatsuivanto`ul’onnote e re (1·17)µ:=−+∞∞τ2e−τ2/2√d2τπ= (2)! 2!
