Algèbre commutative, méthodes constructives

Compléments,exercices,problèmesetsolutionssupplémentaires,
pourlelivre

Algèbrecommutative,méthodes
constructives

Modulesprojectifsdetypefini
Dernièremiseàjour,21février2012

Petitlaiusàcompléter.

Nousremercionstousleslecteursquivoudrontbiennoussignalerdes
erreursdetoutessortes,oudesdémonstrationsélégantes,oudessolutions
d’exercicesouproblèmes.
Noussignalonsaudébutdechaquechapitreleserratad’ordremathématique
(maispaslesfautesd’orthographes).

Tabledesmatières

Tabledesmatières

Avant-Propos

ChapitreII.Principelocal-globaldebaseetsystèmeslinéaires
Exercices..............................7
Solutions..............................7

ChapitreIII.Laméthodedescoefficientsindéterminés
Exercices..............................9
Problèmes.............................10
Solutions..............................12

ChapitreIV.Modulesdeprésentationfinie
Exercices..............................19
Solutions..............................20

ChapitreVI.Algèbresstrictementfiniesetalgèbresgaloisiennes
Errata...............................21
Complémentsducours......................21
Exercices..............................22
Problèmes.............................22
Solutions..............................22

ChapitreIX.Anneauxlocaux,oupresque
Errata...............................23
Exercices..............................24
Solutions..............................25

–3–

4

Tabledesmatières

ChapitreX.Modulesprojectifsdetypefini,2
Exercices..............................
Problèmes.............................
Solutions..............................

ChapitreXII.AnneauxdePrüferetdeDedekind
Errata...............................
Complémentsducours......................
Exercices..............................
Problèmes.............................
Solutions..............................

ChapitreXIII.DimensiondeKrull
Complémentsducours......................
10Morphismesquasi-finis......................

ChapitreXIV.Nombredegénérateursd’unmodule
Complémentsducours......................
Exercices..............................
Problèmes.............................
Solutions..............................

ChapitreXVI.Modulesprojectifsétendus
Exercices..............................
Solutions..............................

920343

3434444444

5454

94499494

1515

Avant-Propos

Avant-Propos

Uneprécision

5

LacitationdeMarxenbasdelapagexvestmalréférencée.
Enfaitils’agitd’unextraitd’untexte,
Remarquesàproposdelarécente
instructionprussiennesurlacensure
,parudanslarevueAnekdotaen1843.
NousavonsindiquélatraductionparJ.Molitorparueen1927etcitéepar
G.Perec:
Lemoyenfaitpartiedelarecherchedelavérité,aussibienquelerésultat.
Ilfautquelarecherchedelavéritésoitelle-mêmevraie;larecherchevraie,
c’estlavéritédéployée,dontlesmembreséparsseréunissentdanslerésultat.
LatraductiondanslaPléiadeparMaximilienRubel,estlasuivante(j’ai
rajoutéunephraseavantetunephraseaprès):
...lecaractèredel’objetnedoit-ilexercernulleinfluence,vraimentpas
lamoindre,surlarecherche?Lavéritéenglobenonseulementlerésultat,
maisaussilechemin.Larecherchedelavéritédoitelle-mêmeêtrevraie,la
vraierechercheestlavéritéépanouiedontlesmembreséparsseréunissent
danslerésultat.Etl’onvoudraitquelemodederecherchenechangepas
selonsonobjet!

ChapitreII
Principelocal-globaldebaseetsystèmesliné-
seriaExercices
Exercice30.
Soient
A
∈
A
m
×
n
,
B
∈
A
n
×
p
,et
r
,
s
avec
r
+
s>n
.
1.Si
AB
=0
alors
D
r
(
A
)
D
s
(
B
)=0
.
2.Engénéral,
D
r
(
A
)
D
s
(
B
)
⊆D
1
(
AB
)
.
3.Plusgénéralemen
q
tsi
r
+
s
>
n
+
q
,alorspourtoutmineur
µ
d’ordre
r
de
A
onal’inclusion
µ
D
s
(
B
)
⊆D
q
(
AB
)
.

Solutions
Exercice14.
1.
et
2.
Cas
m
=2
.Onaparmanipulationsélémentairesavec
e
1
=
r
1
∨
r
2
=
r
1
+
s
1
r
2
=
r
2
+
s
2
r
1
,
ennotantque
e
1
r
2
=
r
2
et
−
r
2
(
r
2
s
1
)=
−
r
2
s
1
=
r
1
r
2
−
r
2
.

r
1
0
7−→
r
1
0
7−→
r
1
+
r
2
s
1
r
2
s
1
=
e
1
r
2
s
1
0
r
2
r
2
r
2
r
2
r
2
r
2
r
2
0e17−→
0
r
1
r
2
.
feEnoutreenposant
f
=
r
2
s
1
,
e
=1
−
f
et
P
=
ona
P
2
=I
2
,
er
1
=
r
1
,
efer
2
=
r
1
r
2
et

r
1
0
er
1
fr
2
r
1
fef
P
0
r
2
P
=
fr
1
er
2
P
=0
r
1
r
2
fe
=
r
1
e
+
f
0=
e
1
0
.
0
r
1
r
2
e
0
r
1
r
2
QQExercice15.
Onpose
b
i
=
j
:
j
6
=
i
a
j
.Onnote
ϕ
:
A
→
kn
=1
A
/
a
k
l’application
canonique.Écrivons
a
ij
+
a
ji
=1
pour
i
6
=
j
avec
a
ij
∈
a
i
,
a
ji
∈
a
j
.Onécrit
YY1=
k
:
k
6
=
i
(
a
ik
+
a
ki
)=
k
:
k
6
=
i
a
ki
+
b
i
=
e
i
+
b
i
(#)
avec
b
i
∈
a
i
et
e
i
∈
b
i
,donc
e
i
≡
0mod
b
i
et
e
i
≡
1mod
a
i
(+)
Enconséquence,pour
x
1
,...,x
n
∈
A
nXϕe
i
x
i
=(
x
1
mod
a
1
,...,x
n
mod
a
n
)
1=icequimontreque
ϕ
estsurjective.Lethéorèmedefactorisationdonnealors

8

ComplémentsduchapitreII

nTQl’isomorphisme
θ
:
A
/
a
→
i
A
/
a
i
caronaévidemment
Ker
ϕ
=
k
=1
a
k
=
a
.
Lescongurences
(+)
montrentqueles
π
(
e
i
)
∈
A
/
a
donnentpar
θ
lesy
Q
stèmefonda-
mentald’idempotentsorthogonauxassociéàlastructuredeproduit
i
A
/
a
i
.Vus
dansceproduit,lesélémentsde
a
1
sontceuxdontlapremièrecoordonnéeestnulle:
ilsformentdoncbienl’idéalengendrépar
ϕ
(1
−
e
1
)
.Autrementditenremontant
dans
A
/
a
,
π
(
a
1
)=
π
(
h
1
−
e
1
i
)
,etenremontantdans
A
,
a
1
=
a
+
h
1
−
e
1
i
.
nnQTL’égalité
k
=1
a
k
=
k
=1
a
k
sedémontreparrécurrencesur
n
pour
n
>
2
en
notantque
(#)
impliqueque
a
i
et
b
i
sontcomaximaux.Voyonsl’initialisation,
c’est-à-direlecas
n
=2
:si
x
∈
a
1
∩
a
2
etsi
a
+
b
=1
avec
a
∈
a
1
et
b
∈
a
2
,alors
x
=
ax
+
bx
,avec
ax
∈
a
1
a
2
parceque
x
∈
a
2
et
bx
∈
a
1
a
2
parceque
x
∈
a
1
,donc
x
∈
a
1
a
2
.
Exercice30.
1.
Onpeutsupposer
r
6
n
.Onconsidèreunmineur
µ
d’ordre
r
de