X ENS PSI un corrige

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pefav

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X-ENS PSI 2007 un corrige Premiere partie. 1.1. f : x 7? ln(1 + x) est de classe C∞ sur ]? 1,+∞[ et on montre par recurrence que ?k ? N?, f (k) : x 7? (k ? 1)!(?1)k?1 (1 + x)k f etant idefiniment derivable en 0, on peut appliquer la formule de Taylor avec reste integrale a tout ordre au voisinage de 0 pour obtenir (compte-tenu de f(0) = 0) ?x ?]? 1,+∞[, ln(1 + x) = n∑ k=1 (?1)k?1 k + ∫ x 0 (x? t)n n! n!(?1)n (1 + t)n+1 dt En appliquant ceci en x = 1, on a donc ? ? ? ? ? ln(2)? n∑ k=1 (?1)k?1 n ? ? ? ? ? ≤ ∫ 1 0 (1? t)n (1 + t)n+1 dt ≤ ∫ 1 0 (1? t)n dt = 1 n + 1 On a donc ln(2) = +∞∑ k=1 (?1)k?1 k = ?a(1) 1.2.

?n ?

formule de taylor avec reste integrale

inegalite precedente

calcul de la somme du membre de gauche donne

Voir

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X-ENS PSI 2007 uncorrig´e Premie`repartie. 1.1. f : x 7→ ln(1 + x ) est de classe C ∞ sur ] − 1 , + ∞ [etonmontreparre´currenceque ∀ k ∈ N ∗ , f ( k ) : x 7→ ( k − (11)+!( x − )1 k ) k − 1 f ´etantid´eﬁnimentd´erivableen0,onpeutappliquerlaformuledeTayloravecresteint´egrale`a tout ordre au voisinage de 0 pour obtenir (compte-tenu de f (0) = 0) ∀ x ∈ ] − 1 , + ∞ [ , ln(1 + x ) = kn X =1 ( − 1 k ) k − 1 + Z 0 x ( x − n ! t ) n (1 n !(+ − t )1 n ) + n 1 dt En appliquant ceci en x = 1, on a donc n ln(2) − X ( − 1 n ) k − 1  ≤ Z 01 (1(1+ − t ) t n ) + n 1 dt ≤ Z 01 (1 − t ) n dt = n 1+1  k =1 On a donc + X ∞ ( − 1) k − 1 ln(2) = k = ζ a (1) k =1 1.2. Soit ε > 0donne´.Soit n 0 = E (1 /ε ) ; on a n 0 ≥ 1 ε − 1 et donc n +11 ≤ ε .L’in´egalit´epr´ece´dente donne alors n X 0 ( − 1 n ) k − 1  ≤ ε ln(2) −  k =1 Lecalculdelasommedumembredegauchedonneunevaleurapproche´edeln(2)`a ε pr`es. 1.3. La fonction x 7→ 1 e´tantd´ecroissantesur R + ∗ o x , n a ∀ k ≥ 1 , ∀ x ∈ [ k, k + 1] ,k +11 ≤ 1 x ≤ 1 k Eninte´grantcesine´galit´espuisensommantlesr´esultatsobtenus,ilvient n dx ∀ n ≥ 1 , k = n X 1 k +11 ≤ Z 1 x ≤ k X n 1 1 k = Onend´eduitque ∀ n ≥ 1 , 0 ≤ k X n =1 1 k − ln( n ) ≤ 1 − n 1+1 ≤ 1 1.4. Onformeladiﬀe´rence u n +1 − u n = n 1+1+ln  nn + 1  = n 1+1+ln  1 − n 1+1  Or,parconcavit´edelnsur R + ∗ , on a ∀ u > − 1 , ln(1 + u ) ≤ u Onend´eduit(avec u = − 1 /n + 1) que ∀ n ∈ N ∗ , u n +1 − u n ≤ 0 La suite ( u n )estdecroissanteetminore´e(par0).Elleestdoncconvergente. 1

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