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1 Mo

PCSIB Mécanique 2011-2012 TD4 Mouvements unidimensionnels 3 Energie potentielle élastique 1. M est soumis à : son poids ?? P , vertical et donc perpendiculaire au mouvement : ∆Ep( ?? P ) = 0 la réaction de l'axe orthogonale à Ox donc W ( ?? R ) = 0 la force de rappel du ressort conservative avec Ep = 12k(? 0) 2 avec = √ a2 + x2 On a donc Ep = 12k( √ a2 + x2 ? 0)2 2. On utilise Maple et on trace Ep 1 2ka 2 (x). Il y a donc 3 situations : si a < 0, 3 positions d'équilibre : 2 positions d'équilibre stable ±xeq avec xeq = √ 20 ? a 2 , 1 position d'équilibre instable x = 0 si a = 0, 1 position d'équilibre stable x = 0 mais d2Ep dx2 |0 = 0 si a > 0, 1 position d'équilibre stable x = 0 avec d2Ep dx2 |0 > 0 3. On a ?2 = 1m d2Ep dx2 |xeq d'où ? = 1 0 √ k(20?a 2 m . 4. Si 0 = a, il y a 1 position d'équilibre stable x = 0. 5.

energie potentielle

package graphique

position d'équilibre stable

amplitude initiale

réaction de l'axe orthogonale

résolution de l' équation différentielle

allure de l'énergie potentielle

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Énergie potentielle

M
! !
P E (P ) = 0p
!
Ox W (R) = 0
p
1 2 2 2E = k(‘ ‘ ) ‘ = a +xp 02 p
1 22 2E = k( a +x ‘ )p 02
Ep (x)1 2ka
2
p
2 2a < ‘ x x = ‘ a0 eq eq 0
x = 0
2d Epa =‘ x = 0 j = 00 2 0dx
2d Epa>‘ x = 0 j > 00 02dxq
2 2 2d E k(‘ a1 p 12 0! = j ! =2 xeqm ‘ mdx 0
‘ =a x = 00
x(t)
,ositionsd'?quilibreau:oids2eplaositions.d'?quilibreutilisestablestableotenpp,Energie?lastiqueadoncv:ectrace3Onunidimensionnels1ts.emenpMouvsousTD4ec2011-2012tielleM?caniqueOnPCSIBest,situations1ypd'o?ositionsond'?quilibvreetinstable4.doncetayOnositionerpsiLedonctdique,la?tudifl'allure,emen13p:ositiond'?quil3.ibreastable1.osirce:de3maisarappIlecsoumisv?aelpdu,reerticalsonsortMapleconserv.pSi.2.tradoncreiltapr?c?demmenplad'?quilibre?riopeendiculaire:5.l'amplitudemouvmouvmentest?lev?rioplusonpeutdeerestMaple,ecdeemouvavConsiiativmenr?action?det,tpd?pdedeend,l'amplitud1initialepplusositiondud'?quilemenibreeststable?e,l'axelaorthogonale?rio?d'oscillationsafaible.v> restart; Exercice 3 TD4, étude du cas où a=lo
> with(DEtools): package pour équations différentielles
> with(plots): package graphique
Warning, the name changecoords has been redefined
> k:=1; choix des valeurs numériques
k := 1
> m:=1;
m := 1
> a:=1;
a := 1
> lo:=1; étude du cas où a=lo
lo := 1
> ep:=x->1/2*k*(sqrt(a^2+x^2)-lo)^2; énergie potentielle
21
2 2
ep := x k ( a + x lo )
2
> plot(ep(x),x=-5..5); allure de l'énergie potentielle: x=0 est une position d'équilibre
stable
> eqmvt:=
diff(x(t),t$2)+k/m*x(t)/sqrt(a^2+x(t)^2)*(sqrt(a^2+x(t)^2)-a)=0;
équation du mouvement
2 2 d x( t) ( 1 + x(t ) 1) eqmvt := x(t ) + = 0 2 2dt  1 + x(t )
> sol1:=DEplot(eqmvt,x(t),t=0..30,[[x(0)=0.5,D(x)(0)=0]],stepsize=
0.1,linecolor=red): résolution de l'équation différentielle avec un choix de conditions
initiales
> sol2:=DEplot(eqmvt,x(t),t=0..30,[[x(0)=0.8,D(x)(0)=0]],stepsize=
0.1,linecolor=blue): résolution avec une amplitude de mouvement plus importante
> display(sol1,sol2); la période des oscillations dépend de l'amplitude; plus l'amplitude
est élevée, plus la période est faible.
--ﬁ>
>

Voir