Corrige Examen janvier Math SPI

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01 janvier 2009

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Corrige : Examen janvier 2009 Math 202 SPI Exercice I. (5 points) 1. Donner la definition de la differentiabilite en (0, 0) d'une fonction g : R2 ? R. 2. On considere la fonction f definie sur R2 par f(x, y) = x 3 + xy ? y3 |x|+ 2|y| pour (x, y) 6= (0, 0); et f(0, 0) = 0. (a) Montrer que f est continue sur R2. (b) Calculer les derivees partielles premieres de f en (0, 0). (c) Montrer que f n'est pas differentiable en (0, 0). (d) La fonction f est-elle de classe C1 dans un voisinage de (0, 0) ? Justifier votre reponse. Corrige. 1. Une fonction g : Rn ? Rk est differentiable en un point a de Rn s'il existe une application lineaire L : Rn ? Rk telle que g(a+h) = g(a)+L(h)+ ||h||?(h), ou ?(h) ? 0 quand h ? 0. 2. (a) Pour (x, y) 6= (0, 0), |x|+ 2|y| 6= 0, f est continue en (x, y).

cos2 ? ·

∂g ∂u

deduire ∫

solution de l'equation

x3 ?

derivees partielles

r2 ?

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Corrig´e:Examenjanvier2009Math202SPI Exercice I.(5 points) 2 1.Donnerlade´ﬁnitiondeladiﬀe´rentiabilit´een(0,0) d’une fonctiong:R→R. 2 2.Onconside`relafonctionfeﬁniesurd´Rpar 3 3 x+xy−y f(x, y) =pour (x, y)6= (0,0); etf(0,0) = 0. |x|+ 2|y| 2 (a) Montrerquefest continue surR. (b)Calculerlesd´eriv´eespartiellespremie`resdefen (0,0). (c) Montrerquef0(neel’nseﬀ´diastpabtiener,0). 1 (d) Lafonctionfestelle de classeCdans un voisinage de (0,otrvr´reus?Jﬁeti)0penoes. Corrig´e. n kn 1. Unefonctiong:R→Rntoinpnueebliatnere´ﬀidtseadeRs’il existe une application n k lin´eaireL:R→Rtelle queg(a+h) =g(a) +L(h) +||h||ǫ(huo`),ǫ(h)→0 quandh→0. 2. (a)Pour (x, y)6= (0,0),|x|+ 2|y| 6= 0,fest continue en (x, y). 3 3 x+xy +y2 1 2 Pour tout (x, y)6= (0,0), on a|f(x, y)≤ || ≤x|+|y|+|y| →0. Donc |x|+2|y|2 limf(x, y) = 0,fest continue en (0,0). (x,y)→(0,0) 2 ∂f f(x,0)−f(0,0)x (b) (0,0) = limx→0= limx→0= lim|x|= 0, ∂x x|x| 2 ∂−y (0,0) = limy→0= lim−= 0. ∂y2|y|2 ∂f ∂f f(x,y)−(0,0)x−(0,0)y3 3 ∂x ∂x+xy−y (c) Soitǫ(x, y= .) =fntre´eiﬀtdes0ee(nailb,0) si 2 22 2 x+y(|x|+2|y|)x+y 2 x1 et seulement silimǫ(x, y) = 0.Orǫ(x, x=) =6→0. Doncfn’est pas 2 3 2x3 2 (x,y)→(0,0) diﬀ´erentiableen(0,0). 1 (d)feebl0n(e´ertnaiondnﬀi,0), donc n’est pas de classeCdans un voisinage de (0,0). 2 2 Exercice II.(5 points) SoitV={(u, v)∈R|v >0}etφ:R→Var´dﬁeinpeφ(x, y) = y y (exe ,). 1 2 1. Montrerqueφest unCemedhpdsi´eiﬀoromRsurV. 1 2 2. Oncherche les solutionsfde classeCsurRsetraplleiidveeres´enaatqiuod´´eulx’ ∂ ∂ y x−=−e .(E) ∂x ∂y y y On posef=g◦φ’cse`tdaueeqi,rf(x, y) =g(u, v(u`o)u, v) = (exe ,). ′ (a)Trouverl’´equationauxde´riv´eespartielles(Eue)qerv´eiﬁg, quandfest solution de l’´equation(E). ′ (b)R´esoudrel’e´quation(Eonsluti,e)e´udetdnseosrilefn´(equdaetli’oE) . Corrig´e. y y 1.∀(u, v)∈V(v >0),φ(x, y) = (u, v)⇔u=vxe ,=e⇔y= lnvcarv >0,x=u/v. 2 (x, y) existe et est unique.Doncφest bijectif deRsurV. y y e xe 1 22y clairement de classeCsurRdet. EtJ e6= 0 po φestφ(x, y) =y= urtout   0e 2 12 (x, y)∈R. Doncφest unComoeihprdemsediﬀ´RsurV. 2 12−1 2 (On peut aussi dire queφ:R→Vest de classeCsurR, etφ:V→R,(u, v)→ 1 (u/v,lnv) est de classeCsurV.)

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