Corrigé de l'épreuve de Mathématiques spécialité ES
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2014
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BACCALAURÉAT
Série :
ES
Épreuve :Mathématiques
(spécialité)
Session 2014
Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficient : 7
PROPOSITION DE CORRIGÉ
1
Exercice 1(5 points)
p(B)=0 ,7
1) D'aprèsl'arbre ci-contre :A.
Donc réponse :c).
2)p B=0 , 6×0 , 3+0, 4×0 , 2=.0 , 26
( )
Donc réponse :c).
3)Fest la primitive defsesvariationsdépendent
donc dusignedef. Commefestnégativesur
4; 12,Festdécroissantesur le même intervalle. Donc réponse :c).
[ ]
60−30 30 3
( )
p X>30=p(X∈[30 ; 60])== =
4) Sur 0;+∞: lnx+ln(x+3)=3 ln2) ⇔ 60−20 40 4 ⇔
] [(( )
2 2
lnx+3x=ln 8⇔ x+3x=8 . Donc réponsed).
( )( )
56
6
est égale à∫2
5) L'aire,en unités d'airedx=[5 lnx]=5 ln6−5ln 2 .
( )( )( )
2
x
Donc réponse :a).
Exercice 2(5 points)
1) a)
0,9
0,1
0,6
0,4
0,9 0,1
b)M=.
( )
0,4 0,6
c) On a supposé qu'au premier lancer, Alice a autant de chances d'atteindre la cible que
de la manquer donca=b=0 ,5d'oùP=0,5 0,5.
( )
1 11
Par suiteP=P×M=.0,65 0,35
( )
2 1
0,9 0,1
=P×Mdonc(a b)=(a b)
2) a)On aP+1nn+1n+1n n.
( )
n
0,4 0,6
On obtient bien :a+=0 , 9a+0, 4b.
n1n n
b) Par définition,a+b=ne peut qu'atteindre ou manquer sa cible!).1 (Alice
n n
a=0 , 9−1=0 , 9a+0, 4−0 , 4a=0 , 5a+0 , 4
Doncn+1an+0, 4(bn)nn n.
2
3) a)
0,5 0,4
b) Lorsquen=5 , on obtient :0,7872 0,2188
C'est à dire :a≈0, 7872etb≈0 , 2188.
55
=a a+0 , 4−0, 8=0, 5a−0 , 4=0 , 5a−0 ,8
4) a)un+1n+1−0 ,8=0 ,5n n(n)=0, 5u.
n
uq=0 , 5
Par suite,(n)et de premier termeest bien une suite géométrique de raison
u=a−0 , 8=0 , 5−0 , 8=−0 , 3.
1 1
n−1n−1
b) Par formule,un=u1q=−0, 3×0 ,5
n−1
et par suite :an=un+0 , 8=0 , 8−0 , 3×.0 , 5
nn
5) c)Comme−1<0 ,5<1,, 5lim 0=0donclim 3×0 ,8=0et par suite
( )( )
n→+∞n→+∞
0
lima=0, 8.
n
n→+∞
Donc à long terme, Alice a une probabilité de 0,8 d'atteindre la cible.
d) D'après le cours, l'état stablePd'un graphe probabiliste s'obtient en résolvant
l'équation matricielleX=X×M. Résoudre cette équation revient à résoudre le
x=0,9x+0,4yx=0,8
système .On trouve. On retrouve donc bien la réponse
{{
x+y=1y=0,2
précédente.
Exercice 3(5 points)
Partie A
60−30 30 3
( )(∈[30 ; 60])=.
1)p X>30=p X= =
60−20 40 4
3
60+20 80
2)E X== =40 . En moyenne, son entraînement dure donc 40 minutes.
( )
2 2
Partie B
p=p(D<57)=0
1) Comme57 mm correspond à l'espérance de la loi normale :1, 5.
(On peut retrouver ce résultat à la calculatrice.)
2)p=p56 , 75<D<57 , 25)≈d'après la calculatrice.0 ,977
(
2
3)p=1−p≈.0 , 023
3 2
Partie C
66
1)f= =0 , 825.
80
1 1
2) Parformule :I=f−;f+ =.0 , 713; 0, 937
[ ]
[ ]
√n√n
Exercice 4
Partie A
1) Parlecture graphique : la concentration à l'instant initial (0 heure) est de2 g/L.
2) Parlecture graphique, la concentration est supérieure ou égale à 0,4 g/L entre 0 et 6
heures.
Partie B
−0 ,5x−0 ,5x−0 ,5x
1)' x=1×e+x+2−0 , 5 e=e 1−0 , 5x+2
( )( )( )(( ))
−0 , 5x−0 ,5x
= e1−0 , 5x−1=−0, 5xe .
( )
D'où le tableau de variations def:
x0 15
−
signe de -0,5x
−0 , 5x
Signe dee
+
Signe def '−
2
Variations def
f(15)
−0 ,5×0−0 ,5×15−3
où 0=2 e=2×1=152 et=17 e≈9 , 4×10 .
( )( )
f.0 ; 15est donc strictement décroissante sur
[ ]
4
2) Surl'intervalle 0; 15, la fonctionfest continue et strictement décroissante avec
[ ]
f0=2>0 ,1etf15≈0 , 009<. Donc d'après la propriété des valeurs0 , 1
( )( )
intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone, l'équationf(x)=0 ,1
admet bien une unique solution sur0 ; 15.
[ ]
3) D'aprèsla calculatrice :
◦f9≈0 , 12>et0 , 1f10≈0 , 08<0 , 1doncα∈.9 ; 10
( )( )] [
◦puisf9 , 4≈0 , 104>et0 , 1f9 ,5)≈0 , 099<0 ,1doncα∈.9 , 4 ; 9 , 5
( )(] [
−0, 5x
4) D'aprèsles résultats affichés,x' '=0 , 25x−e0 , 5.
( )( )
Pour étudier la convexité defil nous faut donc étudier le signe de'f ':
x0 2
signe de
−
0
0 , 25x−0 , 5
−0 , 5x
signe dee
+
signe de' xf '−
( )
0
15
+
+
+
Ainsif(0 ; 2est concave surf ''<0 ) et convexe sur2 ; 15(f ''>0 ).
[ ][ ]
f '' xchange de signe en 2 doncfadmet un point d'inflexion d'abscisse 2.
( )
Partie C
1) D'aprèsla partie B,fα =0 , 1avecα∈9 , 4 ; 9 , 5donc le médicament n'est plus
[ ]
( )
actif à partir deαheures. Il est donc actif entre 0 etαheures.
Plus concrètement,le médicament est actif pendant un peu moins de 9,5 heures.
2) Labaisse de concentration ralentie lorsque la courbe change de concavité, c'est à dire
lorsquex=2d'après la partie B, on obtient donc : la baisse de concentration ralentie
au bout de 2 heures.
5
