Corrigé BTS 2015 - SIO - Mathématiques
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01 juin 2015
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1
Exercice 1
BTS
2015SIOépreuveE2
par Vincent Douce
Mathématiques
1)voicileniveaude chacundessommets,cestàdirelalongueurducheminle plus longqui aboutit
à chacunde ces sommets:
A 0
B 1
C 2
D 2
E 3
F 3
G 4
H 5
2)Voiciletableaudessuccesseurs :
A B
B C,D
C F,G
D E,F
E G
F H
G H
H−
3)GrapheMPM: figure
Figure 1.
en noir :niveaude chaque élément
entouré : tempsderéalisation
en vert : dateminde début
en rouge:date maxdefin
1
chemin critique ABDEGH, temps 12 jours.
4) Non, il y a un proclème au jour 5 :
jours
tâches
personnel
1
A
2
2
A
2
3
B
2
4
B
2
5
C D
4
Une solution consiste à décaler C et F de 1 jour :
jours
tâches
personnel
1
A
2
2
A
2
3
B
2
et alors le nombre de jours est le même.
2
Exercice 2
1) la variable booléenne :
4
B
2
5
D
3
6
D
3
6
D
3
7
D
3
7
D
3
8
D
3
8
D
3
9
F E
3
9
C E
3
10
F G
3
10
F G
3
11
G
2
11
F G
3
12
H
2
12
H
2
(b= 1∧c= 1)∨(b= 0∧a= 1∧c= 1)∨(a= 0∧c= 1)∨(c= 0∧a= 1).
2) on factorise :
(b= 1∧c= 1)∨(b= 0∧a= 1∧c= 1)∨(a= 0∧c= 1) = (b= 1∨(b= 0∧a= 1)∨a= 0)∧(c= 1)
donc la condition sécrit comme la somme suivante :
soit :
soit :
(b= 1∨(b= 0∧a= 1)∨a= 0)∧(c= 1)OU(c= 0∧a= 1)
(c= 1)OU(c= 0∧a= 1),
c= 1OUa= 1
jai marqué OU au lieu de∨pour alléger la notation.
3) On ab= 0mais en faitbest indiff:érent, finalement. Donc si le candidat nest pas retenu cest que
c= 0eta= 0.
3
Exercice 3
A) pour coder SI il faut calculer dabord le produit :
! "! " ! "
4 118 80
=
3 2 870
puis la congruence modulo 26 :
Donc SI est codé en CS.
! " ! "
802
≡(mod 26)
70 18
2
B)
1) 21≡ −5(mod 26)donc5×21≡ −25(mod 26)≡1(mod 26).
On peut aussi calculer5×21 et faire la division euclidienne par 26...
2) a) On trouveB A= 5I.
b) SiA X=Ualors, en multipliant à gauche par B de chaque côté de légalité, on obtient :
B A X=B U⇔5X=B U.
! "
u
C) Avec B)2), on a5X=Bon effectue le produit :
v
! " ! "
u2u−v
B=
v−3u+ 4v
donc :
! "
2u−v
5X=
−3u+ 4v
On sait queu≡1etv≡4(mod 26)et on remplace :
! " ! "
5x−2
≡(mod 26)
5y13
2) Il reste maintenant à diviser par 5.
Daprès B1), la 1 divisé par 5 donne 21 modulo 26
donc 2 divisé par 5 donne−2×42 et on congrue :−42≡10(mod 26)
et de même 13 divisé par 5 donne 13×21 qui, congru à 26, donne13.
Ainsi,
! " ! "
x10
=,
y13
ce qui correspond au mot IL.
3
