Contrôle dérivation et convexité BAC ES

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DS 2-4

Chapitre 2:ctionitnu-c´eevno´tixe
:D´erivation-continuite´-convexit´e
D’apr`esBACES(ancienprogramme)

( 10 points )
Exercice 1
Uneentreprisefabriquechaquejourdesobjets.Cetteproductionnepeutd´epasser700objetsparjour.
Onmod´eliselecouˆttotaldeproductionparunefonctionC.
Lorsquexiatnecne,sens,´equri´eimprexmorbdeo’jbtefsbad´esignelenC(xnoaderps)tn,oˆut,leclcortota
estexprime´encentainesd’euros.
Lacourberepr´esentativedelafonctionCesttseuossed-icee´nnodTntgeanattlesntpuiobraecauo`ela
A(4,5; 247)

Partie A

Chapitre 2:et´contie´itunevixc-no

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Chapitre 2:octnniiu´t-eoce´tixevn

Parlecturegraphique,re´pondreauxquestionssuivantesenarrondissantaumieuxsin´ecessaire.On
laisseraapparentslestraitsdeconstructionsurlafiguredonn´eeenannexe.

1.ets?0objur45onpolestˆucoQleuedorpitcutottedla

☛Solution:

Uneproductionde450objetscorresponda`4,5centainesd’objets.

Le pointA(4,)742appaeitra`tncolabeur5;
doncC(4,5) = 247 (voir graphique)

Lecoˆutdeproductionde450objetsestenvironde247centainesd’eurossoit24700euros.

2.?sorue00006dealotttˆucounurdoiustopstostnrpend’objeCombi

☛Solution:

60000euroscorrespondenta`600centainesd’euros
Onveutr´esoudregraphiquementC(x) = 600.

Chapitre 2:´eitexiunitnocvnoc-e´t

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Chapitre 2:untinoitct´xie-c´eveon

Onadoncuncouˆtde60000eurospour6,5centainesd’objetssoit650objets.

0
Onconside`requelecouˆtmarginalestdonn´eparlafonctionCncfoontidire´ee´valedC.
a)Estimerlecoˆutmarginalpouruneproductionde450objetspuisde600objets.

☛Solution:

0
Lecoˆutmarginalestdonne´parC(x).
Uneproductionde450objetscorresponda`4,5centainesd’objets.
0
C(4,5) est le coefficient directeur de la tangenteT,45siesbacsoiupd’ntouacearbla`
etTurpoefficoenciirtdetce0rustpaeleeall`tparsecaonsdseisscabesdexa’la`ele`llar
0
On a doncC(4,5) = 0
Demˆemelatangente(enbleu)`alacourbeaupointd’abscisse6apourcoefficientdirecteur
0
C(6)
Pourestimergraphiquementcecoefficientdirecteur,onpeutessayerdetracerlepluspre´cise´ment
possible cette tangente.

Chapitre 2:cnovexit-´ceonit´etinu

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300
0
On a doncC(6)≈
1

Chapitre 2:xevne´tie-couit´ntinco

Pour450objetslecouˆtmarginalestde0euroetpour600objetsilestde300eurosenviron.

b)Parlecturegraphique,de´terminerlaconvexite´deC7].sur [0 ;
Que peut-on dire du pointAeerrpe´estntavideebruocalruopC?

☛Solution:

Entrac¸antquelquestangentesapproximativement,ona:

Chapitre 2:inuicontvnoc-e´te´tixe

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Chapitre 2:ntincoiet-´ceonuvietx´

Pourx∈[0; 4,5] la fonctionCest concave (la courbe est en-dessous de ses tangentes(en vert))
et pourx∈[4,la fonction5; 7] Cest convexe (la courbe est au-dessus de ses tangentes(en bleu))
et le pointAest alors un point d’inflexion.

C4est concave sur [0; ,5] et convexe sur [4,5; 7] etAest un point d’inflexion.

Corrige´complet,fichesm´ethodes,vid´eos(cours,m´ethodeset
exercices) MATHS-LYCEE.FR Objectif BAC

Aideauxdevoirsetre´visions,corrections

Partie B
Le prix de vente de chacun de ces objets est de 75 euros.

1.On notertruontmorbree´lefaltcnon”ioceree”ttou.Pxdans l’intervalle [0 ; 7],r(x) est le prix de
vente, en centaines d’euros, dexcentaines d’objets.
Repre´senterlafonctionrere`perenee´nnod.xeneanansld
2.urssanl’orspeet´dnopuaerexene´r,epr´esensantlesrarhpqieuatitnogslitinuEisuinsqustioxque.evtn
a) En supposant que tous les objets produits sont vendus, quelle est, pour l’entreprise, la fourchette
maximalederentabilite´?Justifierlare´ponse.
b)Quepenserdel’affirmation:”ilestpr´ef´erablepourl’entreprisedefabriquer500objetsplutˆotque
600 objets” ?

Chapitre 2:e´tixevnoce-t´uiinntco

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Exercice 2

Chapitre 2:untie´c-cnoiteonvexit´

( 10 points

)

Lesantibiotiquessontdesmole´culesposs´edantlaproprie´te´detuerdesbacte´riesoud’enlimiterla
propagation.
Letableauci-dessousdonnelaconcentrationdanslesangenfonctiondutempsd’unantibiotiqueinject´e
enuneseuleprisea`unpatient.

Cesdonne´esconduisent`alamod´elisationdelaconcentrationenfonctiondutempsparlafonctiong
4t
d´efiniesurl’intervalle[0;10]parg(t.) =
2
t+ 1
Lorsquet,euqitelndioctioibnt’aer,sedupsi’lniejps´ecoul´e,enheurperese´letnmeteg(telasente´rper)
concentration en mg/l de l’antibiotique.
Legraphiquesuivantrepre´sentelesdonn´eesdutableauetlacourberepre´sentativedelafonctiong.

1.Par lecture graphique donner sans justification :
a) les variations de la fonctiong10] ;sur [0 ;
b)laconcentrationmaximaled’antibiotiquelorsdes10premi`eresheures;
c)l’intervalledetempspendantlequellaconcentrationdel’antibiotiquedanslesangestsupe´rieurea`
1,2 mg/l.
0
2.fonctiona) La geee´virets;1[0leald´saet0]l’intervvablesursedte´irg.
 
2
4 1−t
0
Montrer queg(t) = .
2
2
(t+ 1)
0
b) En utilisant l’expression deg(t)nom,da´reiltinsoaatmiioxna,melestarretriqau,eelvaccctoneecteonmt
atteinteexactement1heureapr`esl’injection.

1.ectnar-naltcanocomme´etbiotiquee)ictrbitianund’iniMnoitihnIelamMI(CtlaCntraoncefieinnO´d
tionaudessusdelaquellelesbacte´riesnepeuventplussemultiplier.
LaCMIdel’antibiotiqueinjecte´est1,2 mg/l.
De´terminer,parlecalcul,letempsd’antibiotiqueutilec’est-`a-direladure´ependantlaquellelaconcen-
trationdel’antibiotique´etudi´eestsup´erieurea`saCMI.

Chapitre 2:uit´e-cocontinvnxetie´

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