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Correction exo 4, TD 1 November 29, 2007 On se place dans le contexte general d'un jeu a somme nulle a 2 joueurs. Soit X et Y les ensembles de strategies des joueurs X et Y, u(x, y) la fonction d'utilite du joueur X. • Prouver que sup x?X inf y?Y u(x, y) ≤ inf y?Y sup x?X u(x, y) (1) Preuve : Par la propriete de l'inf et du sup on a : ?x ? X, ?y ? Y, inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ u(x, y) ?x ? X, ?y ? Y, u(x, y) ≤ sup x˜?X u(x˜, y) Donc en mettant ensemble les 2 inegalites, on a : ?x ? X, ?y ? Y, inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ u(x, y) ≤ sup x˜?X u(x˜, y) En oubliant le terme u(x, y), puis en prenant le sup sur x puis l'inf sur y on obtient : ?x ? X, ?y ? Y, inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ sup x˜?X u(x˜, y) ?y ? Y, sup x?X inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ sup x˜?X u(x˜, y) sup x?X inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ inf y?Y sup

inf y?y

point selle

sup x?x

propriete de l'inf et du sup

egalite de la question precedente

maniere symetrique

derivee seconde

strategie prudente

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Point col Dérivée seconde

Correction exo 4, TD 1

November29,2007

On se place dans le contexte general d’un jeu a somme nulle a 2 joueurs. SoitXetYles ensembles de strategies des joueurs X et Y,u(x, y) la fonction d’utilite du joueur X. •Prouver que sup infu(x, y)≤inf supu(x, y) (1) y∈Y y∈Y x∈X x∈X Preuve : Par la propriete de l’inf et du sup on a : ∀x∈X,∀y∈Y,infu(x, y˜)≤u(x, y) y˜∈Y ∀x∈X,∀y∈Y, u(x, y)≤supu(x˜, y) ˜x∈X Donc en mettant ensemble les 2 inegalites, on a : ∀x∈X,∀y∈Y,infu(x, y˜)≤u(x, y)≤supu(x˜, y) y˜∈Y x˜∈X En oubliant le termeu(x, y), puis en prenant le sup surxpuis l’inf sury on obtient : ∀x∈X,∀y∈Y,infu(x, y˜)≤supu(x˜, y) y˜∈Y ˜x∈X ∀y∈Y,sup infu(x, y˜)≤supu(x˜, y) y˜∈Y x∈X x˜∈X sup infu(x, y˜)≤inf supu(x˜, y) y˜∈Y y∈Y x∈X˜x∈X •Supposons que l’on dispose d’un couple de strategies (x˜, y˜) tel que u(˜x, yinf sup˜) =u(x, y) y∈Y x∈X Estcex˜ qui est une strategie prudente pour X, ou bieny˜ qui est une strategie prudente pour Y ? Et donc pourquoi aton ∀x∈X, u(x, y˜)≤u(˜x, y˜) Reponse: Le joueur a cherche a minimiser sur les strategies de Y l’utilite du pire des cas quand X choisit.Il s’agit donc de Y qui cherche a minimiser l’utilite

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