CONVERGENCE DE CERTAINES MARCHES

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CONVERGENCE DE CERTAINES MARCHES ALÉATOIRES PERSISTENTES Travail en commun avec : S. Herrmann (Nancy) C. Tapiero (New-York University, Polytechnic Institute) 1

aléatoires persistentes

marche aléatoire

?2 √

relation de récurrence

processus des sommes partielles

temps ﬁxe

Voir

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Marche aléatoire Relation de récurrence

UnivCONVERHerrmannGENCE1DETCERPTAINESMAR(New-YCHESyAL?AhnicTOIRES:PERSISTENTESS.T(Nancy)raC.vapieroailorkenersitcomm,unolytecaInstitute)vec(Y ) f¡1;1gn n‚0
? ¶
1¡ﬁ ﬁ
… = 0<ﬁ< 1; 0<ﬂ <1:
ﬂ 1¡ﬂ
(Y )n
X :=Y +Y +¢¢¢+Y ; n‚0:n 0 1 n
(X )n
ﬂ =1¡ﬁ (X )n
(1¡ﬁ)– +ﬁ–¡1 1
ﬂ = ﬁ (X ) Y = Yn n+1 n
1¡ﬁ ¡Yn
versistantec.2DeuxdecasetparticuliersNotations:est1.odeprobabilit?transitionque:.Onune?haine:marccie:asso?pval?atoire:estmatriceuneditmarc1he2.heSoitsinon.,donsommestdelauneloihedeKacl'accroissemenMarktvestpartiellesmarcauneecestaleursledansprodecessusdesal?atoireclassiqueOn‰:=1¡ﬁ¡ﬂ
ﬁ¡ﬂ 2ﬁ t+1E[XjY =¡1]= (t+1)¡ (1¡‰ ):t 0 21¡‰ (1¡‰)
ﬁ¡ﬂ 2ﬂ t+1E[XjY =+1]= (t+1)¡ (1¡‰ ):t 0 21¡‰ (1¡‰)
plorsdrfacteuralculerlePhysic:deositionmomentA2.(TVd'asym?trie.A)IlestPropossiblexectempsle?d'or1eSoit2007,2a?tude3RemarqueXt'(‚;t)=E[‚ ]; (‚>0):
Xt
t t'(‚;t)=a ? +a ?+ ¡+ ¡
1¡ﬁ+‚(‚ﬁ¡? ) 1¡
pa = a = ¡a X =Y =¡1+ ¡ + 0 0
2 ‚‚ D
2(1¡ﬂ)‚ +ﬂ¡‚ ¡
pa = a =‚¡a X =Y =1:+ ¡ + 0 0
D
‡ ·21¡ﬁ
D = +(1¡ﬂ)‚ ¡4(1¡ﬁ¡ﬂ):
‚
24a?duitc?etPropestinlorsqueLdelorsqueeositionatric:g?n?rtrogaleOnfonction:aveetet'(‚;t)
'(‚;t)=' (‚;t)+' (‚;t);¡ +
X Xt t' (‚;t)=E[‚ 1 ]; ' (‚;t)=E[‚ 1 ]:¡ fY =¡1g + fY =1gt t
1¡ﬁ ﬂ
' (‚;t+1) = ' (‚;t)+ ' (‚;t)¡ ¡ +
‚ ‚
' (‚;t+1) = ﬁ‚' (‚;t)+(1¡ﬂ)‚' (‚;t)+ ¡ +
¥
2r?currenceandederelationsProplesd?comp5mani?re:delamonositionOnOnPreuvoseelaecsuivvteatreensuiteﬁ ﬂ 0<ﬁ •1; 0<ﬂ •10 0 0 0
¢x
ﬁ :=ﬁ +c ¢ 2[0;1]; ﬂ :=ﬂ +c ¢ 2[0;1]:0 0 x 0 1 x
(Y ; t 2 N) f¡1;1gt
? ¶
1¡ﬁ ¡c ¢ ﬁ +c ¢0 0 x 0 0 x¢… =
ﬂ +c ¢ 1¡ﬂ ¡c ¢0 1 x 0 1 x
Notations.deunematrice3.dehaine6un:r?elsqueasymptotiqueteletparam?trecetit""pdans2.aleurs:v3??tudev3.1o1.Markdeuxdetransition:et¢Z =¢ X ; s2¢ N (¢ >0):x s=¢ t ts t
¢~(Z ; s‚0)s
¢(Z )s
‰ =1¡ﬁ ¡ﬂ :0 0 0
‰ =1,1¡ﬁ ¡ﬂ =0,ﬁ +ﬂ =0,ﬁ =ﬂ =0:0 0 0 0 0 0 0
marcapar:olationrenormalis?eu5.proal?atoireterp:cessusparam?treLaLede6.lin?aire.ci?e:inOnuconobtenasso4.tinhele7Remarqueﬁ ;ﬂ >00 0
2r¢ =¢ (r >0):t x
p
r· t0¢ ¢~ p» =Z +t t 1¡‰ ¢0 t
0(» ; t‚ 0) ¢ ! 0xt
s
‡ · ‡ ·2¡c · c r(1+‰ ) ·0 0 00» =r + t+ 1¡ W ;tt 2 21¡‰ (1¡‰ ) 1¡‰ (1¡‰ )0 0 0 0
W t‚0t
· =ﬂ ¡ﬁ ; c=c +c ; c=c ¡c :0 0 0 0 1 1 0
standaromouvprvleunvers,distributionbroenvgebronveretcecessus8cemeno:prd?signelemouvementlorsownienAdetequed?rivo?lorsque(aosewniensuppt,cessusleConerscergencev)On3.23Th?or?me,ave‰ =10
(Y )t
? ¶
1¡c ¢ c ¢0 x 0 x¢… = (c ;c >0):0 1c ¢ 1¡c ¢1 x 1 x
(e ; n‚1)n
(e ; n‚1) (e ; n‚1)2n 2n¡1
(e ; n ‚ 1) (e ; n ‚ 1)2n 2n¡1
1 1 E[e ] = c2n 1c c1 0
E[e ]=c2n¡1 0
(e ; n‚1)n
X
c ;c0 1N = 1 ; t‚0:fe +:::+e •tgt 1 k
k‚1
de(resp.sonind?p2.tcessus3.3SoitvLesv.a.r.leparam?trecomptagedesuitetielle::telleonentexp)).proOndeasso:cieand?unetesv.a.endanestlorsquei.e.ladeque)1.ergencesonde(resp.etLaiidsuitetransitionloi(resp.deCon9matriceﬁ =ﬂ =0; Y =¡1; ¢ =¢ :0 0 0 x t
¢~(Z ; s ‚ 0)s¡ ¢
c ;c0 1¢ !0 ¡Zx s
Z s
c ;c0 1c ;c N0 1 uZ = (¡1) du s‚0:s
0
¡ ¢
c ;c0 1c = c N0 1 u
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¡ ¢
c;cZs
preoatoirWal?danscheanalytiquesmarestlaCelors,sym?trique,Ad'appr:livroseesupp2.Onp4orTh?or?mecckune10ccchesasKaco?deol?1994.eocjectorielleonveregeessus,1.alorsth?:?me,o?leenasdistribution,estlorsqueversion,oversessusleoestplusle:pr1974,oecG.essuseissprNotraapprintrcheduittraar.oLeproccessusinterpersistanteRemarque.de?t?PoissonodeppStraroam?tr(1982).Dansle